Integral de (-0,25exp(x/2)+0,5*exp(x/2)-0,5)(2x^3-x^4) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(- x^{4} + 2 x^{3}\right) \left(\left(- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{4} + \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}\right) - \frac{1}{2}\right) = - \frac{x^{4} e^{\frac{x}{2}}}{4} + \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3} e^{\frac{x}{2}}}{2} - x^{3}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x^{4} e^{\frac{x}{2}}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int x^{4} e^{\frac{x}{2}}\, dx}{4}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x^{4}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{2}}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 4 x^{3}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = \frac{x}{2}$.

               Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

               $\int 2 e^{u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $2 e^{\frac{x}{2}}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = 8 x^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{2}}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 24 x^{2}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = \frac{x}{2}$.

               Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

               $\int 2 e^{u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $2 e^{\frac{x}{2}}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         3. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = 48 x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{2}}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 96 x$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = \frac{x}{2}$.

               Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

               $\int 2 e^{u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $2 e^{\frac{x}{2}}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         4. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = 192 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{2}}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 192$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = \frac{x}{2}$.

               Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

               $\int 2 e^{u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $2 e^{\frac{x}{2}}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         5. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 384 e^{\frac{x}{2}}\, dx = 384 \int e^{\frac{x}{2}}\, dx$

            1. que $u = \frac{x}{2}$.

               Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

               $\int 2 e^{u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $2 e^{\frac{x}{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $768 e^{\frac{x}{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{4} e^{\frac{x}{2}}}{2} + 4 x^{3} e^{\frac{x}{2}} - 24 x^{2} e^{\frac{x}{2}} + 96 x e^{\frac{x}{2}} - 192 e^{\frac{x}{2}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{4}}{2}\, dx = \frac{\int x^{4}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{5}}{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{3} e^{\frac{x}{2}}}{2}\, dx = \frac{\int x^{3} e^{\frac{x}{2}}\, dx}{2}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{2}}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = \frac{x}{2}$.

               Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

               $\int 2 e^{u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $2 e^{\frac{x}{2}}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = 6 x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{2}}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 12 x$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = \frac{x}{2}$.

               Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

               $\int 2 e^{u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $2 e^{\frac{x}{2}}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         3. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = 24 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{2}}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 24$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = \frac{x}{2}$.

               Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

               $\int 2 e^{u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $2 e^{\frac{x}{2}}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 48 e^{\frac{x}{2}}\, dx = 48 \int e^{\frac{x}{2}}\, dx$

            1. que $u = \frac{x}{2}$.

               Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

               $\int 2 e^{u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $2 e^{\frac{x}{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $96 e^{\frac{x}{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{3} e^{\frac{x}{2}} - 6 x^{2} e^{\frac{x}{2}} + 24 x e^{\frac{x}{2}} - 48 e^{\frac{x}{2}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{3}\right)\, dx = - \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{4}}{4}$

      El resultado es: $\frac{x^{5}}{10} - \frac{x^{4} e^{\frac{x}{2}}}{2} - \frac{x^{4}}{4} + 5 x^{3} e^{\frac{x}{2}} - 30 x^{2} e^{\frac{x}{2}} + 120 x e^{\frac{x}{2}} - 240 e^{\frac{x}{2}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(- x^{4} + 2 x^{3}\right) \left(\left(- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{4} + \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}\right) - \frac{1}{2}\right) = - \frac{x^{4} e^{\frac{x}{2}}}{4} + \frac{x^{4}}{2} + \frac{x^{3} e^{\frac{x}{2}}}{2} - x^{3}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x^{4} e^{\frac{x}{2}}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int x^{4} e^{\frac{x}{2}}\, dx}{4}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x^{4}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{2}}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 4 x^{3}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = \frac{x}{2}$.

               Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

               $\int 2 e^{u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $2 e^{\frac{x}{2}}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = 8 x^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{2}}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 24 x^{2}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = \frac{x}{2}$.

               Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

               $\int 2 e^{u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $2 e^{\frac{x}{2}}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         3. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = 48 x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{2}}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 96 x$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = \frac{x}{2}$.

               Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

               $\int 2 e^{u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $2 e^{\frac{x}{2}}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         4. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = 192 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{2}}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 192$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = \frac{x}{2}$.

               Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

               $\int 2 e^{u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $2 e^{\frac{x}{2}}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         5. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 384 e^{\frac{x}{2}}\, dx = 384 \int e^{\frac{x}{2}}\, dx$

            1. que $u = \frac{x}{2}$.

               Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

               $\int 2 e^{u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $2 e^{\frac{x}{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $768 e^{\frac{x}{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{4} e^{\frac{x}{2}}}{2} + 4 x^{3} e^{\frac{x}{2}} - 24 x^{2} e^{\frac{x}{2}} + 96 x e^{\frac{x}{2}} - 192 e^{\frac{x}{2}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{4}}{2}\, dx = \frac{\int x^{4}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{5}}{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{3} e^{\frac{x}{2}}}{2}\, dx = \frac{\int x^{3} e^{\frac{x}{2}}\, dx}{2}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{2}}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = \frac{x}{2}$.

               Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

               $\int 2 e^{u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $2 e^{\frac{x}{2}}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = 6 x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{2}}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 12 x$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = \frac{x}{2}$.

               Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

               $\int 2 e^{u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $2 e^{\frac{x}{2}}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         3. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = 24 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{2}}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 24$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = \frac{x}{2}$.

               Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

               $\int 2 e^{u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $2 e^{\frac{x}{2}}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 48 e^{\frac{x}{2}}\, dx = 48 \int e^{\frac{x}{2}}\, dx$

            1. que $u = \frac{x}{2}$.

               Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

               $\int 2 e^{u}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $2 e^{\frac{x}{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $96 e^{\frac{x}{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{3} e^{\frac{x}{2}} - 6 x^{2} e^{\frac{x}{2}} + 24 x e^{\frac{x}{2}} - 48 e^{\frac{x}{2}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{3}\right)\, dx = - \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{4}}{4}$

      El resultado es: $\frac{x^{5}}{10} - \frac{x^{4} e^{\frac{x}{2}}}{2} - \frac{x^{4}}{4} + 5 x^{3} e^{\frac{x}{2}} - 30 x^{2} e^{\frac{x}{2}} + 120 x e^{\frac{x}{2}} - 240 e^{\frac{x}{2}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{5}}{10} - \frac{x^{4} e^{\frac{x}{2}}}{2} - \frac{x^{4}}{4} + 5 x^{3} e^{\frac{x}{2}} - 30 x^{2} e^{\frac{x}{2}} + 120 x e^{\frac{x}{2}} - 240 e^{\frac{x}{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{5}}{10} - \frac{x^{4} e^{\frac{x}{2}}}{2} - \frac{x^{4}}{4} + 5 x^{3} e^{\frac{x}{2}} - 30 x^{2} e^{\frac{x}{2}} + 120 x e^{\frac{x}{2}} - 240 e^{\frac{x}{2}}+ \mathrm{constant}$