Integral de exp(3*x)/(1+exp(3*x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{3 x}$.

      Luego que $du = 3 e^{3 x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{3 u + 3}\, du$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 3 u + 3$.

            Luego que $du = 3 du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{1}{3 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(3 u + 3 \right)}}{3}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{3 u + 3} = \frac{1}{3 \left(u + 1\right)}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{3 \left(u + 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{3}$

            1. que $u = u + 1$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u + 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(3 e^{3 x} + 3 \right)}}{3}$

   Método #2

   1. que $u = 3 x$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{e^{u}}{3 e^{u} + 3}\, du$

      1. que $u = 3 e^{u} + 3$.

         Luego que $du = 3 e^{u} du$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{1}{3 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(3 e^{u} + 3 \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(3 e^{3 x} + 3 \right)}}{3}$

   Método #3

   1. que $u = e^{3 x} + 1$.

      Luego que $du = 3 e^{3 x} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{1}{3 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(e^{3 x} + 1 \right)}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(3 e^{3 x} + 3 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(3 e^{3 x} + 3 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$