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Resolución de integrales/ pi/2+x/ (sin(3*pi/2+x/4))^2

Integral de (sin(3*pi/2+x/4))^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 2*pi                 
   /                  
  |                   
  |     2/3*pi   x\   
  |  sin |---- + -| dx
  |      \ 2     4/   
  |                   
 /                    
 0
∫02πsin⁡2(x4+3π2) dx\int\limits_{0}^{2 \pi} \sin^{2}{\left(\frac{x}{4} + \frac{3 \pi}{2} \right)}\, dx 
Integral(sin((3*pi)/2 + x/4)^2, (x, 0, 2*pi))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡2(x4+3π2)=cos⁡2(x4)\sin^{2}{\left(\frac{x}{4} + \frac{3 \pi}{2} \right)} = \cos^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      cos⁡2(x4)=cos⁡(x2)2+12\cos^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(x2)2 dx=∫cos⁡(x2) dx2\int \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx}{2}

        1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

          Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

          ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2sin⁡(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(x2)\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

      El resultado es: x2+sin⁡(x2)\frac{x}{2} + \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡2(x4+3π2)=cos⁡2(x4)\sin^{2}{\left(\frac{x}{4} + \frac{3 \pi}{2} \right)} = \cos^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      cos⁡2(x4)=cos⁡(x2)2+12\cos^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(x2)2 dx=∫cos⁡(x2) dx2\int \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx}{2}

        1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

          Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

          ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2sin⁡(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(x2)\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

      El resultado es: x2+sin⁡(x2)\frac{x}{2} + \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x2+sin⁡(x2)+constant\frac{x}{2} + \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2+sin⁡(x2)+constant\frac{x}{2} + \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                  
 |                                   
 |    2/3*pi   x\          x      /x\
 | sin |---- + -| dx = C + - + sin|-|
 |     \ 2     4/          2      \2/
 |                                   
/
∫sin⁡2(x4+3π2) dx=C+x2+sin⁡(x2)\int \sin^{2}{\left(\frac{x}{4} + \frac{3 \pi}{2} \right)}\, dx = C + \frac{x}{2} + \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.005
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
pi
π\pi 
=
= 
pi
π\pi 
pi
Respuesta numérica [src] 
3.14159265358979
3.14159265358979

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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