Integral de sin(5*x)*cos(x) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(x \right)} = 16 \sin^{5}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 20 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 5 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 16 \sin^{5}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 16 \int \sin^{5}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{5}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{6}{\left(x \right)}}{6}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\sin^{5}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

         2. que $u = 1 - \cos^{2}{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{u^{2}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{6}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right)^{3}}{6}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8 \sin^{6}{\left(x \right)}}{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 20 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 20 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{3}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sin^{4}{\left(x \right)}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 5 \sin^{4}{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 5 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 5 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u\, du = - \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

   El resultado es: $\frac{8 \sin^{6}{\left(x \right)}}{3} - 5 \sin^{4}{\left(x \right)} - \frac{5 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{8 \sin^{6}{\left(x \right)}}{3} - 5 \sin^{4}{\left(x \right)} - \frac{5 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{8 \sin^{6}{\left(x \right)}}{3} - 5 \sin^{4}{\left(x \right)} - \frac{5 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$