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Resolución de integrales/ sin(x-pi/3)/ sin(x-pi/3)*sin(x-pi/3)

Integral de sin(x-pi/3)*sin(x-pi/3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                           
 --                           
 3                            
  /                           
 |                            
 |     /    pi\    /    pi\   
 |  sin|x - --|*sin|x - --| dx
 |     \    3 /    \    3 /   
 |                            
/                             
0
∫0π3sin⁡(x−π3)sin⁡(x−π3) dx\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} \sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)}\, dx 
Integral(sin(x - pi/3)*sin(x - pi/3), (x, 0, pi/3))
Solución detallada

  1. que u=x−π3u = x - \frac{\pi}{3}.

    Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

    ∫sin⁡2(u) du\int \sin^{2}{\left(u \right)}\, du

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡2(u)=12−cos⁡(2u)2\sin^{2}{\left(u \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−cos⁡(2u)2) du=−∫cos⁡(2u) du2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}

        1. que u=2uu = 2 u.

          Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(2u)2\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2u)4- \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

      El resultado es: u2−sin⁡(2u)4\frac{u}{2} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

    Si ahora sustituir uu más en:

    x2−sin⁡(2x−2π3)4−π2⋅3\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x - \frac{2 \pi}{3} \right)}}{4} - \frac{\pi}{2 \cdot 3}

  2. Ahora simplificar:

    x2+sin⁡(2x+π3)4−π6\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)}}{4} - \frac{\pi}{6}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x2+sin⁡(2x+π3)4−π6+constant\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)}}{4} - \frac{\pi}{6}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2+sin⁡(2x+π3)4−π6+constant\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)}}{4} - \frac{\pi}{6}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                        /      2*pi\      
 |                                      sin|2*x - ----|      
 |    /    pi\    /    pi\          x      \       3  /    pi
 | sin|x - --|*sin|x - --| dx = C + - - --------------- - ---
 |    \    3 /    \    3 /          2          4          2*3
 |                                                           
/
∫sin⁡(x−π3)sin⁡(x−π3) dx=C+x2−sin⁡(2x−2π3)4−π2⋅3\int \sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} \sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)}\, dx = C + \frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x - \frac{2 \pi}{3} \right)}}{4} - \frac{\pi}{2 \cdot 3}
Simplificar
Gráfica
0.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901.000.01.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
    ___     
  \/ 3    pi
- ----- + --
    8     6
−38+π6- \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{\pi}{6} 
=
= 
    ___     
  \/ 3    pi
- ----- + --
    8     6
−38+π6- \frac{\sqrt{3}}{8} + \frac{\pi}{6} 
-sqrt(3)/8 + pi/6
Respuesta numérica [src] 
0.307092424652189
0.307092424652189

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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