Integral de e^(3*x)*cos(e^(3*x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{3 x}$.

      Luego que $du = 3 e^{3 x} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sin{\left(e^{3 x} \right)}}{3}$

   Método #2

   1. que $u = 3 x$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{e^{u} \cos{\left(e^{u} \right)}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int e^{u} \cos{\left(e^{u} \right)}\, du = \frac{\int e^{u} \cos{\left(e^{u} \right)}\, du}{3}$

         1. que $u = e^{u}$.

            Luego que $du = e^{u} du$ y ponemos $du$:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du$

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\sin{\left(e^{u} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(e^{u} \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sin{\left(e^{3 x} \right)}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\sin{\left(e^{3 x} \right)}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sin{\left(e^{3 x} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sin{\left(e^{3 x} \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$