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Resolución de integrales/ 1-x^2/ sin(t)/ 81*sin(t)^2*(sqrt(81-x^2))

Integral de 81*sin(t)^2*(sqrt(81-x^2)) dt

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  9                           
  /                           
 |                            
 |                _________   
 |        2      /       2    
 |  81*sin (t)*\/  81 - x   dt
 |                            
/                             
0
∫0981−x2⋅81sin⁡2(t) dt\int\limits_{0}^{9} \sqrt{81 - x^{2}} \cdot 81 \sin^{2}{\left(t \right)}\, dt 
Integral((81*sin(t)^2)*sqrt(81 - x^2), (t, 0, 9))
Solución detallada

  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫81−x2⋅81sin⁡2(t) dt=81−x2∫81sin⁡2(t) dt\int \sqrt{81 - x^{2}} \cdot 81 \sin^{2}{\left(t \right)}\, dt = \sqrt{81 - x^{2}} \int 81 \sin^{2}{\left(t \right)}\, dt

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫81sin⁡2(t) dt=81∫sin⁡2(t) dt\int 81 \sin^{2}{\left(t \right)}\, dt = 81 \int \sin^{2}{\left(t \right)}\, dt

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡2(t)=12−cos⁡(2t)2\sin^{2}{\left(t \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dt=t2\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(2t)2) dt=−∫cos⁡(2t) dt2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\right)\, dt = - \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{2}

          1. que u=2tu = 2 t.

            Luego que du=2dtdu = 2 dt y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2t)2\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2t)4- \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}

        El resultado es: t2−sin⁡(2t)4\frac{t}{2} - \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: 81t2−81sin⁡(2t)4\frac{81 t}{2} - \frac{81 \sin{\left(2 t \right)}}{4}

    Por lo tanto, el resultado es: 81−x2(81t2−81sin⁡(2t)4)\sqrt{81 - x^{2}} \left(\frac{81 t}{2} - \frac{81 \sin{\left(2 t \right)}}{4}\right)

  2. Ahora simplificar:

    8181−x2(2t−sin⁡(2t))4\frac{81 \sqrt{81 - x^{2}} \left(2 t - \sin{\left(2 t \right)}\right)}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    8181−x2(2t−sin⁡(2t))4+constant\frac{81 \sqrt{81 - x^{2}} \left(2 t - \sin{\left(2 t \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

8181−x2(2t−sin⁡(2t))4+constant\frac{81 \sqrt{81 - x^{2}} \left(2 t - \sin{\left(2 t \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                    
 |                                                                     
 |               _________             _________                       
 |       2      /       2             /       2  /  81*sin(2*t)   81*t\
 | 81*sin (t)*\/  81 - x   dt = C + \/  81 - x  *|- ----------- + ----|
 |                                               \       4         2  /
/
∫81−x2⋅81sin⁡2(t) dt=C+81−x2(81t2−81sin⁡(2t)4)\int \sqrt{81 - x^{2}} \cdot 81 \sin^{2}{\left(t \right)}\, dt = C + \sqrt{81 - x^{2}} \left(\frac{81 t}{2} - \frac{81 \sin{\left(2 t \right)}}{4}\right)
Simplificar
Respuesta [src] 
      _________                    
     /       2  /9   cos(9)*sin(9)\
81*\/  81 - x  *|- - -------------|
                \2         2      /
8181−x2(−sin⁡(9)cos⁡(9)2+92)81 \sqrt{81 - x^{2}} \left(- \frac{\sin{\left(9 \right)} \cos{\left(9 \right)}}{2} + \frac{9}{2}\right) 
=
= 
      _________                    
     /       2  /9   cos(9)*sin(9)\
81*\/  81 - x  *|- - -------------|
                \2         2      /
8181−x2(−sin⁡(9)cos⁡(9)2+92)81 \sqrt{81 - x^{2}} \left(- \frac{\sin{\left(9 \right)} \cos{\left(9 \right)}}{2} + \frac{9}{2}\right) 
81*sqrt(81 - x^2)*(9/2 - cos(9)*sin(9)/2)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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