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Integral de (1-x^2)sqrt(1+4x^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                          
  /                          
 |                           
 |              __________   
 |  /     2\   /        2    
 |  \1 - x /*\/  1 + 4*x   dx
 |                           
/                            
-1                           
11(1x2)4x2+1dx\int\limits_{-1}^{1} \left(1 - x^{2}\right) \sqrt{4 x^{2} + 1}\, dx
Integral((1 - x^2)*sqrt(1 + 4*x^2), (x, -1, 1))
Solución detallada
  1. Vuelva a escribir el integrando:

    (1x2)4x2+1=x24x2+1+4x2+1\left(1 - x^{2}\right) \sqrt{4 x^{2} + 1} = - x^{2} \sqrt{4 x^{2} + 1} + \sqrt{4 x^{2} + 1}

  2. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      (x24x2+1)dx=x24x2+1dx\int \left(- x^{2} \sqrt{4 x^{2} + 1}\right)\, dx = - \int x^{2} \sqrt{4 x^{2} + 1}\, dx

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        x54x2+1+3x384x2+1+x324x2+1asinh(2x)64\frac{x^{5}}{\sqrt{4 x^{2} + 1}} + \frac{3 x^{3}}{8 \sqrt{4 x^{2} + 1}} + \frac{x}{32 \sqrt{4 x^{2} + 1}} - \frac{\operatorname{asinh}{\left(2 x \right)}}{64}

      Por lo tanto, el resultado es: x54x2+13x384x2+1x324x2+1+asinh(2x)64- \frac{x^{5}}{\sqrt{4 x^{2} + 1}} - \frac{3 x^{3}}{8 \sqrt{4 x^{2} + 1}} - \frac{x}{32 \sqrt{4 x^{2} + 1}} + \frac{\operatorname{asinh}{\left(2 x \right)}}{64}

    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

      Pero la integral

      x4x2+12+asinh(2x)4\frac{x \sqrt{4 x^{2} + 1}}{2} + \frac{\operatorname{asinh}{\left(2 x \right)}}{4}

    El resultado es: x54x2+13x384x2+1+x4x2+12x324x2+1+17asinh(2x)64- \frac{x^{5}}{\sqrt{4 x^{2} + 1}} - \frac{3 x^{3}}{8 \sqrt{4 x^{2} + 1}} + \frac{x \sqrt{4 x^{2} + 1}}{2} - \frac{x}{32 \sqrt{4 x^{2} + 1}} + \frac{17 \operatorname{asinh}{\left(2 x \right)}}{64}

  3. Ahora simplificar:

    64x5+104x3+30x+174x2+1asinh(2x)644x2+1\frac{- 64 x^{5} + 104 x^{3} + 30 x + 17 \sqrt{4 x^{2} + 1} \operatorname{asinh}{\left(2 x \right)}}{64 \sqrt{4 x^{2} + 1}}

  4. Añadimos la constante de integración:

    64x5+104x3+30x+174x2+1asinh(2x)644x2+1+constant\frac{- 64 x^{5} + 104 x^{3} + 30 x + 17 \sqrt{4 x^{2} + 1} \operatorname{asinh}{\left(2 x \right)}}{64 \sqrt{4 x^{2} + 1}}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

64x5+104x3+30x+174x2+1asinh(2x)644x2+1+constant\frac{- 64 x^{5} + 104 x^{3} + 30 x + 17 \sqrt{4 x^{2} + 1} \operatorname{asinh}{\left(2 x \right)}}{64 \sqrt{4 x^{2} + 1}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                                                                                    
 |                                                      __________                                                     
 |             __________                              /        2           5                 3                        
 | /     2\   /        2           17*asinh(2*x)   x*\/  1 + 4*x           x               3*x                x        
 | \1 - x /*\/  1 + 4*x   dx = C + ------------- + --------------- - ------------- - --------------- - ----------------
 |                                       64               2             __________        __________         __________
/                                                                      /        2        /        2         /        2 
                                                                     \/  1 + 4*x     8*\/  1 + 4*x     32*\/  1 + 4*x  
(1x2)4x2+1dx=Cx54x2+13x384x2+1+x4x2+12x324x2+1+17asinh(2x)64\int \left(1 - x^{2}\right) \sqrt{4 x^{2} + 1}\, dx = C - \frac{x^{5}}{\sqrt{4 x^{2} + 1}} - \frac{3 x^{3}}{8 \sqrt{4 x^{2} + 1}} + \frac{x \sqrt{4 x^{2} + 1}}{2} - \frac{x}{32 \sqrt{4 x^{2} + 1}} + \frac{17 \operatorname{asinh}{\left(2 x \right)}}{64}
Gráfica
-1.0-0.8-0.6-0.4-0.21.00.00.20.40.60.82-2
Respuesta numérica [src]
1.7452110863449
1.7452110863449

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.