Integral de (1-x^2)sqrt(1+4x^2) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\left(1 - x^{2}\right) \sqrt{4 x^{2} + 1} = - x^{2} \sqrt{4 x^{2} + 1} + \sqrt{4 x^{2} + 1}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- x^{2} \sqrt{4 x^{2} + 1}\right)\, dx = - \int x^{2} \sqrt{4 x^{2} + 1}\, dx$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\frac{x^{5}}{\sqrt{4 x^{2} + 1}} + \frac{3 x^{3}}{8 \sqrt{4 x^{2} + 1}} + \frac{x}{32 \sqrt{4 x^{2} + 1}} - \frac{\operatorname{asinh}{\left(2 x \right)}}{64}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{5}}{\sqrt{4 x^{2} + 1}} - \frac{3 x^{3}}{8 \sqrt{4 x^{2} + 1}} - \frac{x}{32 \sqrt{4 x^{2} + 1}} + \frac{\operatorname{asinh}{\left(2 x \right)}}{64}$

   1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

      Pero la integral

      $\frac{x \sqrt{4 x^{2} + 1}}{2} + \frac{\operatorname{asinh}{\left(2 x \right)}}{4}$

   El resultado es: $- \frac{x^{5}}{\sqrt{4 x^{2} + 1}} - \frac{3 x^{3}}{8 \sqrt{4 x^{2} + 1}} + \frac{x \sqrt{4 x^{2} + 1}}{2} - \frac{x}{32 \sqrt{4 x^{2} + 1}} + \frac{17 \operatorname{asinh}{\left(2 x \right)}}{64}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{- 64 x^{5} + 104 x^{3} + 30 x + 17 \sqrt{4 x^{2} + 1} \operatorname{asinh}{\left(2 x \right)}}{64 \sqrt{4 x^{2} + 1}}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{- 64 x^{5} + 104 x^{3} + 30 x + 17 \sqrt{4 x^{2} + 1} \operatorname{asinh}{\left(2 x \right)}}{64 \sqrt{4 x^{2} + 1}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{- 64 x^{5} + 104 x^{3} + 30 x + 17 \sqrt{4 x^{2} + 1} \operatorname{asinh}{\left(2 x \right)}}{64 \sqrt{4 x^{2} + 1}}+ \mathrm{constant}$