Integral de ((1/2)*t)-((1/2)*t*exp(t))-((1/4)*t^3*exp(t)) dt

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{t^{3}}{4} e^{t}\right)\, dt = - \int \frac{t^{3} e^{t}}{4}\, dt$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{t^{3} e^{t}}{4}\, dt = \frac{\int t^{3} e^{t}\, dt}{4}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(t \right)} = t^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(t \right)} = e^{t}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(t \right)} = 3 t^{2}$.

            Para buscar $v{\left(t \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{t}\, dt = e^{t}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(t \right)} = 3 t^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(t \right)} = e^{t}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(t \right)} = 6 t$.

            Para buscar $v{\left(t \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{t}\, dt = e^{t}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         3. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(t \right)} = 6 t$ y que $\operatorname{dv}{\left(t \right)} = e^{t}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(t \right)} = 6$.

            Para buscar $v{\left(t \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{t}\, dt = e^{t}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 6 e^{t}\, dt = 6 \int e^{t}\, dt$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{t}\, dt = e^{t}$

            Por lo tanto, el resultado es: $6 e^{t}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{t^{3} e^{t}}{4} - \frac{3 t^{2} e^{t}}{4} + \frac{3 t e^{t}}{2} - \frac{3 e^{t}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{t^{3} e^{t}}{4} + \frac{3 t^{2} e^{t}}{4} - \frac{3 t e^{t}}{2} + \frac{3 e^{t}}{2}$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{t}{2} e^{t}\right)\, dt = - \int \frac{t e^{t}}{2}\, dt$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{t e^{t}}{2}\, dt = \frac{\int t e^{t}\, dt}{2}$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(t \right)} = t$ y que $\operatorname{dv}{\left(t \right)} = e^{t}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(t \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(t \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{t}\, dt = e^{t}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{t}\, dt = e^{t}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{t e^{t}}{2} - \frac{e^{t}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{t e^{t}}{2} + \frac{e^{t}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{t}{2}\, dt = \frac{\int t\, dt}{2}$

         1. Integral $t^{n}$ es $\frac{t^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int t\, dt = \frac{t^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{t^{2}}{4}$

      El resultado es: $\frac{t^{2}}{4} - \frac{t e^{t}}{2} + \frac{e^{t}}{2}$

   El resultado es: $- \frac{t^{3} e^{t}}{4} + \frac{3 t^{2} e^{t}}{4} + \frac{t^{2}}{4} - 2 t e^{t} + 2 e^{t}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{t^{3} e^{t}}{4} + \frac{3 t^{2} e^{t}}{4} + \frac{t^{2}}{4} - 2 t e^{t} + 2 e^{t}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{t^{3} e^{t}}{4} + \frac{3 t^{2} e^{t}}{4} + \frac{t^{2}}{4} - 2 t e^{t} + 2 e^{t}+ \mathrm{constant}$