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Resolución de integrales/ ((1/2)*t)-((1/2)*t*exp(t))-((1/4)*t^3*exp(t))

Integral de ((1/2)*t)-((1/2)*t*exp(t))-((1/4)*t^3*exp(t)) dt

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  x                      
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 |                       
 |  /            3   \   
 |  |t   t  t   t   t|   
 |  |- - -*e  - --*e | dt
 |  \2   2      4    /   
 |                       
/                        
0
∫0x(−t34et+(−t2et+t2)) dt\int\limits_{0}^{x} \left(- \frac{t^{3}}{4} e^{t} + \left(- \frac{t}{2} e^{t} + \frac{t}{2}\right)\right)\, dt 
Integral(t/2 - t/2*exp(t) - t^3/4*exp(t), (t, 0, x))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−t34et) dt=−∫t3et4 dt\int \left(- \frac{t^{3}}{4} e^{t}\right)\, dt = - \int \frac{t^{3} e^{t}}{4}\, dt

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫t3et4 dt=∫t3et dt4\int \frac{t^{3} e^{t}}{4}\, dt = \frac{\int t^{3} e^{t}\, dt}{4}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(t)=t3u{\left(t \right)} = t^{3} y que dv⁡(t)=et\operatorname{dv}{\left(t \right)} = e^{t}.

          Entonces du⁡(t)=3t2\operatorname{du}{\left(t \right)} = 3 t^{2}.

          Para buscar v(t)v{\left(t \right)}:

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫et dt=et\int e^{t}\, dt = e^{t}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(t)=3t2u{\left(t \right)} = 3 t^{2} y que dv⁡(t)=et\operatorname{dv}{\left(t \right)} = e^{t}.

          Entonces du⁡(t)=6t\operatorname{du}{\left(t \right)} = 6 t.

          Para buscar v(t)v{\left(t \right)}:

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫et dt=et\int e^{t}\, dt = e^{t}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(t)=6tu{\left(t \right)} = 6 t y que dv⁡(t)=et\operatorname{dv}{\left(t \right)} = e^{t}.

          Entonces du⁡(t)=6\operatorname{du}{\left(t \right)} = 6.

          Para buscar v(t)v{\left(t \right)}:

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫et dt=et\int e^{t}\, dt = e^{t}

          Ahora resolvemos podintegral.

        4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫6et dt=6∫et dt\int 6 e^{t}\, dt = 6 \int e^{t}\, dt

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫et dt=et\int e^{t}\, dt = e^{t}

          Por lo tanto, el resultado es: 6et6 e^{t}

        Por lo tanto, el resultado es: t3et4−3t2et4+3tet2−3et2\frac{t^{3} e^{t}}{4} - \frac{3 t^{2} e^{t}}{4} + \frac{3 t e^{t}}{2} - \frac{3 e^{t}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −t3et4+3t2et4−3tet2+3et2- \frac{t^{3} e^{t}}{4} + \frac{3 t^{2} e^{t}}{4} - \frac{3 t e^{t}}{2} + \frac{3 e^{t}}{2}

    1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−t2et) dt=−∫tet2 dt\int \left(- \frac{t}{2} e^{t}\right)\, dt = - \int \frac{t e^{t}}{2}\, dt

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫tet2 dt=∫tet dt2\int \frac{t e^{t}}{2}\, dt = \frac{\int t e^{t}\, dt}{2}

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(t)=tu{\left(t \right)} = t y que dv⁡(t)=et\operatorname{dv}{\left(t \right)} = e^{t}.

            Entonces du⁡(t)=1\operatorname{du}{\left(t \right)} = 1.

            Para buscar v(t)v{\left(t \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫et dt=et\int e^{t}\, dt = e^{t}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫et dt=et\int e^{t}\, dt = e^{t}

          Por lo tanto, el resultado es: tet2−et2\frac{t e^{t}}{2} - \frac{e^{t}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −tet2+et2- \frac{t e^{t}}{2} + \frac{e^{t}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫t2 dt=∫t dt2\int \frac{t}{2}\, dt = \frac{\int t\, dt}{2}

        1. Integral tnt^{n} es tn+1n+1\frac{t^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫t dt=t22\int t\, dt = \frac{t^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: t24\frac{t^{2}}{4}

      El resultado es: t24−tet2+et2\frac{t^{2}}{4} - \frac{t e^{t}}{2} + \frac{e^{t}}{2}

    El resultado es: −t3et4+3t2et4+t24−2tet+2et- \frac{t^{3} e^{t}}{4} + \frac{3 t^{2} e^{t}}{4} + \frac{t^{2}}{4} - 2 t e^{t} + 2 e^{t}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −t3et4+3t2et4+t24−2tet+2et+constant- \frac{t^{3} e^{t}}{4} + \frac{3 t^{2} e^{t}}{4} + \frac{t^{2}}{4} - 2 t e^{t} + 2 e^{t}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−t3et4+3t2et4+t24−2tet+2et+constant- \frac{t^{3} e^{t}}{4} + \frac{3 t^{2} e^{t}}{4} + \frac{t^{2}}{4} - 2 t e^{t} + 2 e^{t}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
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 | /            3   \                  2             3  t      2  t
 | |t   t  t   t   t|             t   t         t   t *e    3*t *e 
 | |- - -*e  - --*e | dt = C + 2*e  + -- - 2*t*e  - ----- + -------
 | \2   2      4    /                 4               4        4   
 |                                                                 
/
∫(−t34et+(−t2et+t2)) dt=C−t3et4+3t2et4+t24−2tet+2et\int \left(- \frac{t^{3}}{4} e^{t} + \left(- \frac{t}{2} e^{t} + \frac{t}{2}\right)\right)\, dt = C - \frac{t^{3} e^{t}}{4} + \frac{3 t^{2} e^{t}}{4} + \frac{t^{2}}{4} - 2 t e^{t} + 2 e^{t}
Simplificar
Respuesta [src] 
      2   /     3            2\  x
     x    \8 - x  - 8*x + 3*x /*e 
-2 + -- + ------------------------
     4               4
x24+(−x3+3x2−8x+8)ex4−2\frac{x^{2}}{4} + \frac{\left(- x^{3} + 3 x^{2} - 8 x + 8\right) e^{x}}{4} - 2 
=
= 
      2   /     3            2\  x
     x    \8 - x  - 8*x + 3*x /*e 
-2 + -- + ------------------------
     4               4
x24+(−x3+3x2−8x+8)ex4−2\frac{x^{2}}{4} + \frac{\left(- x^{3} + 3 x^{2} - 8 x + 8\right) e^{x}}{4} - 2 
-2 + x^2/4 + (8 - x^3 - 8*x + 3*x^2)*exp(x)/4

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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