Integral de 2sin(x)cos(5x)cos(x)dx dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(5 x \right)} \cos{\left(x \right)} = 32 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} - 40 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + 10 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 32 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx = 32 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u^{6}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{32 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 40 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 40 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u^{4}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $8 \cos^{5}{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 10 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 10 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$

      1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u^{2}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{10 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

   El resultado es: $- \frac{32 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} + 8 \cos^{5}{\left(x \right)} - \frac{10 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \left(- 48 \cos^{4}{\left(x \right)} + 84 \cos^{2}{\left(x \right)} - 35\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{21}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \left(- 48 \cos^{4}{\left(x \right)} + 84 \cos^{2}{\left(x \right)} - 35\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{21}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(- 48 \cos^{4}{\left(x \right)} + 84 \cos^{2}{\left(x \right)} - 35\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{21}+ \mathrm{constant}$