Integral de 1/(4x+1)*sqrtx^2+1 dx

1. Integramos término a término:

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2 u^{3}}{4 u^{2} + 1}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{3}}{4 u^{2} + 1}\, du = 2 \int \frac{u^{3}}{4 u^{2} + 1}\, du$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = u^{2}$.

               Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{u}{8 u + 2}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{u}{8 u + 2} = \frac{1}{8} - \frac{1}{8 \left(4 u + 1\right)}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int \frac{1}{8}\, du = \frac{u}{8}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- \frac{1}{8 \left(4 u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{4 u + 1}\, du}{8}$

                     1. que $u = 4 u + 1$.

                        Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                        $\int \frac{1}{4 u}\, du$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

                           1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\frac{\log{\left(4 u + 1 \right)}}{4}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(4 u + 1 \right)}}{32}$

                  El resultado es: $\frac{u}{8} - \frac{\log{\left(4 u + 1 \right)}}{32}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{u^{2}}{8} - \frac{\log{\left(4 u^{2} + 1 \right)}}{32}$

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u^{3}}{4 u^{2} + 1} = \frac{u}{4} - \frac{u}{4 \left(4 u^{2} + 1\right)}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{u}{4}\, du = \frac{\int u\, du}{4}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{8}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{u}{4 \left(4 u^{2} + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{u}{4 u^{2} + 1}\, du}{4}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{u}{4 u^{2} + 1}\, du = \frac{\int \frac{8 u}{4 u^{2} + 1}\, du}{8}$

                     1. que $u = 4 u^{2} + 1$.

                        Luego que $du = 8 u du$ y ponemos $\frac{du}{8}$:

                        $\int \frac{1}{8 u}\, du$

                        1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\log{\left(4 u^{2} + 1 \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(4 u^{2} + 1 \right)}}{8}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(4 u^{2} + 1 \right)}}{32}$

               El resultado es: $\frac{u^{2}}{8} - \frac{\log{\left(4 u^{2} + 1 \right)}}{32}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{4} - \frac{\log{\left(4 u^{2} + 1 \right)}}{16}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x}{4} - \frac{\log{\left(4 x + 1 \right)}}{16}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

   El resultado es: $\frac{5 x}{4} - \frac{\log{\left(4 x + 1 \right)}}{16}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{5 x}{4} - \frac{\log{\left(4 x + 1 \right)}}{16}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{5 x}{4} - \frac{\log{\left(4 x + 1 \right)}}{16}+ \mathrm{constant}$