Integral de sqrt^4(1+3x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{3 x + 1}$.

      Luego que $du = \frac{3 dx}{2 \sqrt{3 x + 1}}$ y ponemos $\frac{2 du}{3}$:

      $\int \frac{2 u^{5}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{5}\, du = \frac{2 \int u^{5}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{6}}{9}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(3 x + 1\right)^{3}}{9}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\sqrt{3 x + 1}\right)^{4} = 9 x^{2} + 6 x + 1$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 9 x^{2}\, dx = 9 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6 x\, dx = 6 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      El resultado es: $3 x^{3} + 3 x^{2} + x$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(3 x + 1\right)^{3}}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(3 x + 1\right)^{3}}{9}+ \mathrm{constant}$