Integral de (1/2sqrt(x))arcsinsqrt(x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int u^{2} \operatorname{asin}{\left(u \right)}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = \operatorname{asin}{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = u^{2}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{3}}{3 \sqrt{1 - u^{2}}}\, du = \frac{\int \frac{u^{3}}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du}{3}$

         TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=sin(_theta)**3, substep=RewriteRule(rewritten=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta), substep=AlternativeRule(alternatives=[URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=1, substep=AddRule(substeps=[PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), ConstantRule(constant=-1, context=-1, symbol=_u)], context=_u**2 - 1, symbol=_u), context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta), symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=-sin(_theta)*cos(_theta)**2 + sin(_theta), substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1, other=sin(_theta)*cos(_theta)**2, substep=URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**2, substep=PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), context=_u**2, symbol=_u), context=sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=-sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), TrigRule(func='sin', arg=_theta, context=sin(_theta), symbol=_theta)], context=-sin(_theta)*cos(_theta)**2 + sin(_theta), symbol=_theta), context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta), symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=-sin(_theta)*cos(_theta)**2 + sin(_theta), substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1, other=sin(_theta)*cos(_theta)**2, substep=URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**2, substep=PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), context=_u**2, symbol=_u), context=sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=-sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), TrigRule(func='sin', arg=_theta, context=sin(_theta), symbol=_theta)], context=-sin(_theta)*cos(_theta)**2 + sin(_theta), symbol=_theta), context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta), symbol=_theta)], context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta), symbol=_theta), context=sin(_theta)**3, symbol=_theta), restriction=(_u > -1) & (_u < 1), context=_u**3/sqrt(1 - _u**2), symbol=_u)

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\begin{cases} \frac{\left(1 - u^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - \sqrt{1 - u^{2}} & \text{for}\: u > -1 \wedge u < 1 \end{cases}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{\frac{3}{2}} \operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)}}{3} - \frac{\begin{cases} \frac{\left(1 - x\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - \sqrt{1 - x} & \text{for}\: x \geq 0 \wedge x < 1 \end{cases}}{3}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{x}}{2}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{2 \sqrt{x} \sqrt{1 - x}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sqrt{x}}{2}\, dx = \frac{\int \sqrt{x}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x}{6 \sqrt{1 - x}}\, dx = \frac{\int \frac{x}{\sqrt{1 - x}}\, dx}{6}$

      1. que $u = \frac{1}{\sqrt{1 - x}}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{2 \left(1 - x\right)^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $du$:

         $\int \left(- 2 \left(1 - \frac{1}{u^{2}}\right)^{2} + 2 - \frac{2}{u^{2}}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 2 \left(1 - \frac{1}{u^{2}}\right)^{2}\right)\, du = - 2 \int \left(1 - \frac{1}{u^{2}}\right)^{2}\, du$

               1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

                  Método #1

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\left(1 - \frac{1}{u^{2}}\right)^{2} = 1 - \frac{2}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int 1\, du = u$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- \frac{2}{u^{2}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{u}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                     El resultado es: $u + \frac{2}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}$

                  Método #2

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\left(1 - \frac{1}{u^{2}}\right)^{2} = \frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}}$

                  2. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\frac{u^{4} - 2 u^{2} + 1}{u^{4}} = 1 - \frac{2}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}$

                  3. Integramos término a término:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int 1\, du = u$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- \frac{2}{u^{2}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{u}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                     El resultado es: $u + \frac{2}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 2 u - \frac{4}{u} + \frac{2}{3 u^{3}}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 2\, du = 2 u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{2}{u^{2}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{u}$

            El resultado es: $- \frac{2}{u} + \frac{2}{3 u^{3}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 \left(1 - x\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \sqrt{1 - x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\left(1 - x\right)^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{\sqrt{1 - x}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} \frac{x^{\frac{3}{2}} \operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)}}{3} + \frac{\sqrt{1 - x} \left(x + 2\right)}{9} & \text{for}\: x \geq 0 \wedge x < 1 \end{cases}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} \frac{x^{\frac{3}{2}} \operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)}}{3} + \frac{\sqrt{1 - x} \left(x + 2\right)}{9} & \text{for}\: x \geq 0 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} \frac{x^{\frac{3}{2}} \operatorname{asin}{\left(\sqrt{x} \right)}}{3} + \frac{\sqrt{1 - x} \left(x + 2\right)}{9} & \text{for}\: x \geq 0 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$