Integral de ln(1+|x|) dx

Solución

Ha introducido [src]

  2                
  /                
 |                 
 |  log(1 + |x|) dx
 |                 
/                  
-2

$$\int\limits_{-2}^{2} \log{\left(\left|{x}\right| + 1 \right)}\, dx$$

Integral(log(1 + |x|), (x, -2, 2))

Solución detallada

Usamos la integración por partes:

$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

que $u{\left(x \right)} = \log{\left(\left|{x}\right| + 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$ .

Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + \operatorname{im}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{x \left(\left|{x}\right| + 1\right)}$ .

Para buscar $v{\left(x \right)}$ :
1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
  
  $\int 1\, dx = x$
Ahora resolvemos podintegral.
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + \operatorname{im}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right| + 1} = \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right| + 1}$
2. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right| + 1} = \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right| + 1} + \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right| + 1}$
3. Integramos término a término:
  1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
    
    Pero la integral
    
    $\int \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right| + 1}\, dx$
  1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
    
    Pero la integral
    
    $\int \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right| + 1}\, dx$
  El resultado es: $\int \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right| + 1}\, dx + \int \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right| + 1}\, dx$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{\left(\operatorname{re}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + \operatorname{im}{\left(x\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\left|{x}\right| + 1} = \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right| + 1} + \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right| + 1}$
2. Integramos término a término:
  1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
    
    Pero la integral
    
    $\int \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right| + 1}\, dx$
  1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
    
    Pero la integral
    
    $\int \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right| + 1}\, dx$
  El resultado es: $\int \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right| + 1}\, dx + \int \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right| + 1}\, dx$
Añadimos la constante de integración:

$x \log{\left(\left|{x}\right| + 1 \right)} - \int \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right| + 1}\, dx - \int \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right| + 1}\, dx+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \log{\left(\left|{x}\right| + 1 \right)} - \int \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right| + 1}\, dx - \int \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right| + 1}\, dx+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

                           /                               /                                           
                          |                               |                                            
                          | d                             | d                                          
  /                       | --(im(x))*im(x)*sign(x)       | --(re(x))*re(x)*sign(x)                    
 |                        | dx                            | dx                                         
 | log(1 + |x|) dx = C -  | ----------------------- dx -  | ----------------------- dx + x*log(1 + |x|)
 |                        |         1 + |x|               |         1 + |x|                            
/                         |                               |                                            
                         /                               /

$$\int \log{\left(\left|{x}\right| + 1 \right)}\, dx = C + x \log{\left(\left|{x}\right| + 1 \right)} - \int \frac{\operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right| + 1}\, dx - \int \frac{\operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{\left|{x}\right| + 1}\, dx$$

Respuesta [src]

-4 + 6*log(3)

$$-4 + 6 \log{\left(3 \right)}$$

-4 + 6*log(3)

$$-4 + 6 \log{\left(3 \right)}$$

-4 + 6*log(3)

Respuesta numérica [src]

2.59127214330217

2.59127214330217

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de ln(1+|x|) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2