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Resolución de integrales/ 5*x+2/ (5*x+2)*sin*(5*x+4)dx

Integral de (5*x+2)*sin*(5*x+4)dx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                          
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 |  (5*x + 2)*sin(5*x + 4) dx
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0
∫01(5x+2)sin⁡(5x+4) dx\int\limits_{0}^{1} \left(5 x + 2\right) \sin{\left(5 x + 4 \right)}\, dx 
Integral((5*x + 2)*sin(5*x + 4), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=5xu = 5 x.

      Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos dudu:

      ∫(usin⁡(u+4)5+2sin⁡(u+4)5) du\int \left(\frac{u \sin{\left(u + 4 \right)}}{5} + \frac{2 \sin{\left(u + 4 \right)}}{5}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫usin⁡(u+4)5 du=∫usin⁡(u+4) du5\int \frac{u \sin{\left(u + 4 \right)}}{5}\, du = \frac{\int u \sin{\left(u + 4 \right)}\, du}{5}

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=sin⁡(u+4)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u + 4 \right)}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=u+4u = u + 4.

              Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

              ∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡(u+4)- \cos{\left(u + 4 \right)}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(u+4)) du=−∫cos⁡(u+4) du\int \left(- \cos{\left(u + 4 \right)}\right)\, du = - \int \cos{\left(u + 4 \right)}\, du

            1. que u=u+4u = u + 4.

              Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

              ∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(u+4)\sin{\left(u + 4 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(u+4)- \sin{\left(u + 4 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −ucos⁡(u+4)5+sin⁡(u+4)5- \frac{u \cos{\left(u + 4 \right)}}{5} + \frac{\sin{\left(u + 4 \right)}}{5}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2sin⁡(u+4)5 du=2∫sin⁡(u+4) du5\int \frac{2 \sin{\left(u + 4 \right)}}{5}\, du = \frac{2 \int \sin{\left(u + 4 \right)}\, du}{5}

          1. que u=u+4u = u + 4.

            Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

            ∫sin⁡(u) du\int \sin{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(u+4)- \cos{\left(u + 4 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(u+4)5- \frac{2 \cos{\left(u + 4 \right)}}{5}

        El resultado es: −ucos⁡(u+4)5+sin⁡(u+4)5−2cos⁡(u+4)5- \frac{u \cos{\left(u + 4 \right)}}{5} + \frac{\sin{\left(u + 4 \right)}}{5} - \frac{2 \cos{\left(u + 4 \right)}}{5}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −xcos⁡(5x+4)+sin⁡(5x+4)5−2cos⁡(5x+4)5- x \cos{\left(5 x + 4 \right)} + \frac{\sin{\left(5 x + 4 \right)}}{5} - \frac{2 \cos{\left(5 x + 4 \right)}}{5}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (5x+2)sin⁡(5x+4)=5xsin⁡(5x+4)+2sin⁡(5x+4)\left(5 x + 2\right) \sin{\left(5 x + 4 \right)} = 5 x \sin{\left(5 x + 4 \right)} + 2 \sin{\left(5 x + 4 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5xsin⁡(5x+4) dx=5∫xsin⁡(5x+4) dx\int 5 x \sin{\left(5 x + 4 \right)}\, dx = 5 \int x \sin{\left(5 x + 4 \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(5x+4)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x + 4 \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=5x+4u = 5 x + 4.

            Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

            ∫sin⁡(u)5 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)5- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(5x+4)5- \frac{\cos{\left(5 x + 4 \right)}}{5}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(5x+4)5) dx=−∫cos⁡(5x+4) dx5\int \left(- \frac{\cos{\left(5 x + 4 \right)}}{5}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(5 x + 4 \right)}\, dx}{5}

          1. que u=5x+4u = 5 x + 4.

            Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

            ∫cos⁡(u)5 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du5\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)5\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(5x+4)5\frac{\sin{\left(5 x + 4 \right)}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(5x+4)25- \frac{\sin{\left(5 x + 4 \right)}}{25}

        Por lo tanto, el resultado es: −xcos⁡(5x+4)+sin⁡(5x+4)5- x \cos{\left(5 x + 4 \right)} + \frac{\sin{\left(5 x + 4 \right)}}{5}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2sin⁡(5x+4) dx=2∫sin⁡(5x+4) dx\int 2 \sin{\left(5 x + 4 \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(5 x + 4 \right)}\, dx

        1. que u=5x+4u = 5 x + 4.

          Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

          ∫sin⁡(u)5 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)5- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(5x+4)5- \frac{\cos{\left(5 x + 4 \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(5x+4)5- \frac{2 \cos{\left(5 x + 4 \right)}}{5}

      El resultado es: −xcos⁡(5x+4)+sin⁡(5x+4)5−2cos⁡(5x+4)5- x \cos{\left(5 x + 4 \right)} + \frac{\sin{\left(5 x + 4 \right)}}{5} - \frac{2 \cos{\left(5 x + 4 \right)}}{5}

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=5x+2u{\left(x \right)} = 5 x + 2 y que dv⁡(x)=sin⁡(5x+4)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x + 4 \right)}.

      Entonces du⁡(x)=5\operatorname{du}{\left(x \right)} = 5.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=5x+4u = 5 x + 4.

        Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

        ∫sin⁡(u)5 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)5- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(5x+4)5- \frac{\cos{\left(5 x + 4 \right)}}{5}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−cos⁡(5x+4)) dx=−∫cos⁡(5x+4) dx\int \left(- \cos{\left(5 x + 4 \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(5 x + 4 \right)}\, dx

      1. que u=5x+4u = 5 x + 4.

        Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

        ∫cos⁡(u)5 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du5\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)5\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(5x+4)5\frac{\sin{\left(5 x + 4 \right)}}{5}

      Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(5x+4)5- \frac{\sin{\left(5 x + 4 \right)}}{5}

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (5x+2)sin⁡(5x+4)=5xsin⁡(5x+4)+2sin⁡(5x+4)\left(5 x + 2\right) \sin{\left(5 x + 4 \right)} = 5 x \sin{\left(5 x + 4 \right)} + 2 \sin{\left(5 x + 4 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5xsin⁡(5x+4) dx=5∫xsin⁡(5x+4) dx\int 5 x \sin{\left(5 x + 4 \right)}\, dx = 5 \int x \sin{\left(5 x + 4 \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(5x+4)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x + 4 \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=5x+4u = 5 x + 4.

            Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

            ∫sin⁡(u)5 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)5- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(5x+4)5- \frac{\cos{\left(5 x + 4 \right)}}{5}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(5x+4)5) dx=−∫cos⁡(5x+4) dx5\int \left(- \frac{\cos{\left(5 x + 4 \right)}}{5}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(5 x + 4 \right)}\, dx}{5}

          1. que u=5x+4u = 5 x + 4.

            Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

            ∫cos⁡(u)5 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du5\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{5}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)5\frac{\sin{\left(u \right)}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(5x+4)5\frac{\sin{\left(5 x + 4 \right)}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(5x+4)25- \frac{\sin{\left(5 x + 4 \right)}}{25}

        Por lo tanto, el resultado es: −xcos⁡(5x+4)+sin⁡(5x+4)5- x \cos{\left(5 x + 4 \right)} + \frac{\sin{\left(5 x + 4 \right)}}{5}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2sin⁡(5x+4) dx=2∫sin⁡(5x+4) dx\int 2 \sin{\left(5 x + 4 \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(5 x + 4 \right)}\, dx

        1. que u=5x+4u = 5 x + 4.

          Luego que du=5dxdu = 5 dx y ponemos du5\frac{du}{5}:

          ∫sin⁡(u)5 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du5\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{5}

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)5- \frac{\cos{\left(u \right)}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡(5x+4)5- \frac{\cos{\left(5 x + 4 \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: −2cos⁡(5x+4)5- \frac{2 \cos{\left(5 x + 4 \right)}}{5}

      El resultado es: −xcos⁡(5x+4)+sin⁡(5x+4)5−2cos⁡(5x+4)5- x \cos{\left(5 x + 4 \right)} + \frac{\sin{\left(5 x + 4 \right)}}{5} - \frac{2 \cos{\left(5 x + 4 \right)}}{5}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −xcos⁡(5x+4)+sin⁡(5x+4)5−2cos⁡(5x+4)5+constant- x \cos{\left(5 x + 4 \right)} + \frac{\sin{\left(5 x + 4 \right)}}{5} - \frac{2 \cos{\left(5 x + 4 \right)}}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−xcos⁡(5x+4)+sin⁡(5x+4)5−2cos⁡(5x+4)5+constant- x \cos{\left(5 x + 4 \right)} + \frac{\sin{\left(5 x + 4 \right)}}{5} - \frac{2 \cos{\left(5 x + 4 \right)}}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                              
 |                                 2*cos(4 + 5*x)   sin(4 + 5*x)                 
 | (5*x + 2)*sin(5*x + 4) dx = C - -------------- + ------------ - x*cos(4 + 5*x)
 |                                       5               5                       
/
∫(5x+2)sin⁡(5x+4) dx=C−xcos⁡(5x+4)+sin⁡(5x+4)5−2cos⁡(5x+4)5\int \left(5 x + 2\right) \sin{\left(5 x + 4 \right)}\, dx = C - x \cos{\left(5 x + 4 \right)} + \frac{\sin{\left(5 x + 4 \right)}}{5} - \frac{2 \cos{\left(5 x + 4 \right)}}{5}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  7*cos(9)   sin(4)   sin(9)   2*cos(4)
- -------- - ------ + ------ + --------
     5         5        5         5
2cos⁡(4)5+sin⁡(9)5−sin⁡(4)5−7cos⁡(9)5\frac{2 \cos{\left(4 \right)}}{5} + \frac{\sin{\left(9 \right)}}{5} - \frac{\sin{\left(4 \right)}}{5} - \frac{7 \cos{\left(9 \right)}}{5} 
=
= 
  7*cos(9)   sin(4)   sin(9)   2*cos(4)
- -------- - ------ + ------ + --------
     5         5        5         5
2cos⁡(4)5+sin⁡(9)5−sin⁡(4)5−7cos⁡(9)5\frac{2 \cos{\left(4 \right)}}{5} + \frac{\sin{\left(9 \right)}}{5} - \frac{\sin{\left(4 \right)}}{5} - \frac{7 \cos{\left(9 \right)}}{5} 
-7*cos(9)/5 - sin(4)/5 + sin(9)/5 + 2*cos(4)/5
Respuesta numérica [src] 
1.24790911440304
1.24790911440304

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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