Integral de dx/(2*x+sqrt(3)*sqrt(x))+1 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2}{2 u + \sqrt{3}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{2 u + \sqrt{3}}\, du = 2 \int \frac{1}{2 u + \sqrt{3}}\, du$

         1. que $u = 2 u + \sqrt{3}$.

            Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(2 u + \sqrt{3} \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(2 u + \sqrt{3} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\log{\left(2 \sqrt{x} + \sqrt{3} \right)}$

   El resultado es: $x + \log{\left(2 \sqrt{x} + \sqrt{3} \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x + \log{\left(2 \sqrt{x} + \sqrt{3} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x + \log{\left(2 \sqrt{x} + \sqrt{3} \right)}+ \mathrm{constant}$