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Resolución de integrales/ 1-x^2/ x^2*y/ 2*y^2/ y/sqrt(1-x^2*y^2)-2*x

Integral de y/sqrt(1-x^2*y^2)-2*x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                          
  /                          
 |                           
 |  /      y             \   
 |  |-------------- - 2*x| dx
 |  |   ___________      |   
 |  |  /      2  2       |   
 |  \\/  1 - x *y        /   
 |                           
/                            
0
∫01(−2x+y−x2y2+1) dx\int\limits_{0}^{1} \left(- 2 x + \frac{y}{\sqrt{- x^{2} y^{2} + 1}}\right)\, dx 
Integral(y/sqrt(1 - x^2*y^2) - 2*x, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−2x) dx=−2∫x dx\int \left(- 2 x\right)\, dx = - 2 \int x\, dx

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: −x2- x^{2}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫y−x2y2+1 dx=y∫1−x2y2+1 dx\int \frac{y}{\sqrt{- x^{2} y^{2} + 1}}\, dx = y \int \frac{1}{\sqrt{- x^{2} y^{2} + 1}}\, dx

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        {−iacosh⁡(xy)yfor ∣x2y2∣>1asin⁡(xy)yotherwese\begin{cases} - \frac{i \operatorname{acosh}{\left(x y \right)}}{y} & \text{for}\: \left|{x^{2} y^{2}}\right| > 1 \\\frac{\operatorname{asin}{\left(x y \right)}}{y} & \text{otherwese} \end{cases}

      Por lo tanto, el resultado es: y({−iacosh⁡(xy)yfor ∣x2y2∣>1asin⁡(xy)yotherwese)y \left(\begin{cases} - \frac{i \operatorname{acosh}{\left(x y \right)}}{y} & \text{for}\: \left|{x^{2} y^{2}}\right| > 1 \\\frac{\operatorname{asin}{\left(x y \right)}}{y} & \text{otherwese} \end{cases}\right)

    El resultado es: −x2+y({−iacosh⁡(xy)yfor ∣x2y2∣>1asin⁡(xy)yotherwese)- x^{2} + y \left(\begin{cases} - \frac{i \operatorname{acosh}{\left(x y \right)}}{y} & \text{for}\: \left|{x^{2} y^{2}}\right| > 1 \\\frac{\operatorname{asin}{\left(x y \right)}}{y} & \text{otherwese} \end{cases}\right)

  2. Ahora simplificar:

    {−(x2+iacosh⁡(xy))for ∣x2y2∣>1−x2+asin⁡(xy)otherwese\begin{cases} - (x^{2} + i \operatorname{acosh}{\left(x y \right)}) & \text{for}\: \left|{x^{2} y^{2}}\right| > 1 \\- x^{2} + \operatorname{asin}{\left(x y \right)} & \text{otherwese} \end{cases}

  3. Añadimos la constante de integración:

    {−(x2+iacosh⁡(xy))for ∣x2y2∣>1−x2+asin⁡(xy)otherwese+constant\begin{cases} - (x^{2} + i \operatorname{acosh}{\left(x y \right)}) & \text{for}\: \left|{x^{2} y^{2}}\right| > 1 \\- x^{2} + \operatorname{asin}{\left(x y \right)} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

{−(x2+iacosh⁡(xy))for ∣x2y2∣>1−x2+asin⁡(xy)otherwese+constant\begin{cases} - (x^{2} + i \operatorname{acosh}{\left(x y \right)}) & \text{for}\: \left|{x^{2} y^{2}}\right| > 1 \\- x^{2} + \operatorname{asin}{\left(x y \right)} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                       //-I*acosh(x*y)       | 2  2|    \
 |                                        ||--------------  for |x *y | > 1|
 | /      y             \           2     ||      y                        |
 | |-------------- - 2*x| dx = C - x  + y*|<                               |
 | |   ___________      |                 ||  asin(x*y)                    |
 | |  /      2  2       |                 ||  ---------        otherwise   |
 | \\/  1 - x *y        /                 \\      y                        /
 |                                                                          
/
∫(−2x+y−x2y2+1) dx=C−x2+y({−iacosh⁡(xy)yfor ∣x2y2∣>1asin⁡(xy)yotherwise)\int \left(- 2 x + \frac{y}{\sqrt{- x^{2} y^{2} + 1}}\right)\, dx = C - x^{2} + y \left(\begin{cases} - \frac{i \operatorname{acosh}{\left(x y \right)}}{y} & \text{for}\: \left|{x^{2} y^{2}}\right| > 1 \\\frac{\operatorname{asin}{\left(x y \right)}}{y} & \text{otherwise} \end{cases}\right)
Simplificar
Respuesta [src] 
       1                                     
       /                                     
      |                                      
      |  /     -I*y             2 | 2|       
      |  |---------------  for x *|y | > 1   
      |  |   ____________                    
      |  |  /       2  2                     
      |  |\/  -1 + x *y                      
-1 +  |  <                                 dx
      |  |      y                            
      |  |--------------      otherwise      
      |  |   ___________                     
      |  |  /      2  2                      
      |  \\/  1 - x *y                       
      |                                      
     /                                       
     0
∫01{−iyx2y2−1for x2∣y2∣>1y−x2y2+1otherwise dx−1\int\limits_{0}^{1} \begin{cases} - \frac{i y}{\sqrt{x^{2} y^{2} - 1}} & \text{for}\: x^{2} \left|{y^{2}}\right| > 1 \\\frac{y}{\sqrt{- x^{2} y^{2} + 1}} & \text{otherwise} \end{cases}\, dx - 1 
=
= 
       1                                     
       /                                     
      |                                      
      |  /     -I*y             2 | 2|       
      |  |---------------  for x *|y | > 1   
      |  |   ____________                    
      |  |  /       2  2                     
      |  |\/  -1 + x *y                      
-1 +  |  <                                 dx
      |  |      y                            
      |  |--------------      otherwise      
      |  |   ___________                     
      |  |  /      2  2                      
      |  \\/  1 - x *y                       
      |                                      
     /                                       
     0
∫01{−iyx2y2−1for x2∣y2∣>1y−x2y2+1otherwise dx−1\int\limits_{0}^{1} \begin{cases} - \frac{i y}{\sqrt{x^{2} y^{2} - 1}} & \text{for}\: x^{2} \left|{y^{2}}\right| > 1 \\\frac{y}{\sqrt{- x^{2} y^{2} + 1}} & \text{otherwise} \end{cases}\, dx - 1 
-1 + Integral(Piecewise((-i*y/sqrt(-1 + x^2*y^2), x^2*|y^2| > 1), (y/sqrt(1 - x^2*y^2), True)), (x, 0, 1))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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