Integral de (cos(lnx)+x^4)/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(e^{4 u} + \cos{\left(u \right)}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. que $u = 4 u$.

            Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{4 u}}{4}$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         El resultado es: $\frac{e^{4 u}}{4} + \sin{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{4}}{4} + \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{4} + \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x} = x^{3} + \frac{\cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      1. que $u = \frac{1}{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{\cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u}\, du$

            1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- \cos{\left(u \right)}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = - \int \cos{\left(u \right)}\, du$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(u \right)}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \sin{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\sin{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{4}}{4} + \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{4}}{4} + \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{4}}{4} + \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$