Integral de cos^3(3t)sin(3t)dt dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \cos{\left(3 t \right)}$.

      Luego que $du = - 3 \sin{\left(3 t \right)} dt$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

      $\int \left(- \frac{u^{3}}{3}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{3}\, du = - \frac{\int u^{3}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{12}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\cos^{4}{\left(3 t \right)}}{12}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sin{\left(3 t \right)} \cos^{3}{\left(3 t \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(3 t \right)}\right) \sin{\left(3 t \right)} \cos{\left(3 t \right)}$

   2. que $u = \sin^{2}{\left(3 t \right)}$.

      Luego que $du = 6 \sin{\left(3 t \right)} \cos{\left(3 t \right)} dt$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{1}{6} - \frac{u}{6}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{6}\, du = \frac{u}{6}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{u}{6}\right)\, du = - \frac{\int u\, du}{6}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{12}$

         El resultado es: $- \frac{u^{2}}{12} + \frac{u}{6}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\sin^{4}{\left(3 t \right)}}{12} + \frac{\sin^{2}{\left(3 t \right)}}{6}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\cos^{4}{\left(3 t \right)}}{12}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\cos^{4}{\left(3 t \right)}}{12}+ \mathrm{constant}$