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Resolución de integrales/ 1-x^2/ 2-y^2/ x^2-y/ x*y*sqrt(1-x^2-y^2)

Integral de x*y*sqrt(1-x^2-y^2) dy

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
    ________                       
   /      2                        
 \/  1 - x                         
      /                            
     |                             
     |             _____________   
     |            /      2    2    
     |      x*y*\/  1 - x  - y   dy
     |                             
    /                              
    0
∫01−x2xy−y2+(1−x2) dy\int\limits_{0}^{\sqrt{1 - x^{2}}} x y \sqrt{- y^{2} + \left(1 - x^{2}\right)}\, dy 
Integral((x*y)*sqrt(1 - x^2 - y^2), (y, 0, sqrt(1 - x^2)))
Solución detallada

  1. que u=−y2+(1−x2)u = - y^{2} + \left(1 - x^{2}\right).

    Luego que du=−2ydydu = - 2 y dy y ponemos −dux2- \frac{du x}{2}:

    ∫(−ux2) du\int \left(- \frac{\sqrt{u} x}{2}\right)\, du

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫u du=−x∫u du2\int \sqrt{u}\, du = - \frac{x \int \sqrt{u}\, du}{2}

      1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫u du=2u323\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: −u32x3- \frac{u^{\frac{3}{2}} x}{3}

    Si ahora sustituir uu más en:

    −x(−y2+(1−x2))323- \frac{x \left(- y^{2} + \left(1 - x^{2}\right)\right)^{\frac{3}{2}}}{3}

  2. Ahora simplificar:

    −x(−x2−y2+1)323- \frac{x \left(- x^{2} - y^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −x(−x2−y2+1)323+constant- \frac{x \left(- x^{2} - y^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−x(−x2−y2+1)323+constant- \frac{x \left(- x^{2} - y^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                
 |                                              3/2
 |        _____________            /     2    2\   
 |       /      2    2           x*\1 - x  - y /   
 | x*y*\/  1 - x  - y   dy = C - ------------------
 |                                       3         
/
∫xy−y2+(1−x2) dy=C−x(−y2+(1−x2))323\int x y \sqrt{- y^{2} + \left(1 - x^{2}\right)}\, dy = C - \frac{x \left(- y^{2} + \left(1 - x^{2}\right)\right)^{\frac{3}{2}}}{3}
Simplificar
Respuesta [src] 
   /     ________         ________\
   |    /      2     2   /      2 |
   |  \/  1 - x     x *\/  1 - x  |
-x*|- ----------- + --------------|
   \       3              3       /
−x(x21−x23−1−x23)- x \left(\frac{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}{3} - \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{3}\right) 
=
= 
   /     ________         ________\
   |    /      2     2   /      2 |
   |  \/  1 - x     x *\/  1 - x  |
-x*|- ----------- + --------------|
   \       3              3       /
−x(x21−x23−1−x23)- x \left(\frac{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}}{3} - \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{3}\right) 
-x*(-sqrt(1 - x^2)/3 + x^2*sqrt(1 - x^2)/3)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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