Sr Examen

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Integral de e^xdx/(e^x+8)^4 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
 oo             
  /             
 |              
 |       x      
 |      E       
 |  --------- dx
 |          4   
 |  / x    \    
 |  \E  + 8/    
 |              
/               
-oo             
ex(ex+8)4dx\int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 8\right)^{4}}\, dx
Integral(E^x/(E^x + 8)^4, (x, -oo, oo))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=exu = e^{x}.

      Luego que du=exdxdu = e^{x} dx y ponemos dudu:

      1u4+32u3+384u2+2048u+4096du\int \frac{1}{u^{4} + 32 u^{3} + 384 u^{2} + 2048 u + 4096}\, du

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        1u4+32u3+384u2+2048u+4096=1(u+8)4\frac{1}{u^{4} + 32 u^{3} + 384 u^{2} + 2048 u + 4096} = \frac{1}{\left(u + 8\right)^{4}}

      2. que u=u+8u = u + 8.

        Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

        1u4du\int \frac{1}{u^{4}}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          1u4du=13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        13(u+8)3- \frac{1}{3 \left(u + 8\right)^{3}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      13(ex+8)3- \frac{1}{3 \left(e^{x} + 8\right)^{3}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      ex(ex+8)4=exe4x+32e3x+384e2x+2048ex+4096\frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 8\right)^{4}} = \frac{e^{x}}{e^{4 x} + 32 e^{3 x} + 384 e^{2 x} + 2048 e^{x} + 4096}

    2. que u=exu = e^{x}.

      Luego que du=exdxdu = e^{x} dx y ponemos dudu:

      1u4+32u3+384u2+2048u+4096du\int \frac{1}{u^{4} + 32 u^{3} + 384 u^{2} + 2048 u + 4096}\, du

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        1u4+32u3+384u2+2048u+4096=1(u+8)4\frac{1}{u^{4} + 32 u^{3} + 384 u^{2} + 2048 u + 4096} = \frac{1}{\left(u + 8\right)^{4}}

      2. que u=u+8u = u + 8.

        Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

        1u4du\int \frac{1}{u^{4}}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          1u4du=13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        13(u+8)3- \frac{1}{3 \left(u + 8\right)^{3}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      13(ex+8)3- \frac{1}{3 \left(e^{x} + 8\right)^{3}}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      ex(ex+8)4=exe4x+32e3x+384e2x+2048ex+4096\frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 8\right)^{4}} = \frac{e^{x}}{e^{4 x} + 32 e^{3 x} + 384 e^{2 x} + 2048 e^{x} + 4096}

    2. que u=exu = e^{x}.

      Luego que du=exdxdu = e^{x} dx y ponemos dudu:

      1u4+32u3+384u2+2048u+4096du\int \frac{1}{u^{4} + 32 u^{3} + 384 u^{2} + 2048 u + 4096}\, du

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        1u4+32u3+384u2+2048u+4096=1(u+8)4\frac{1}{u^{4} + 32 u^{3} + 384 u^{2} + 2048 u + 4096} = \frac{1}{\left(u + 8\right)^{4}}

      2. que u=u+8u = u + 8.

        Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

        1u4du\int \frac{1}{u^{4}}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          1u4du=13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        13(u+8)3- \frac{1}{3 \left(u + 8\right)^{3}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      13(ex+8)3- \frac{1}{3 \left(e^{x} + 8\right)^{3}}

  2. Ahora simplificar:

    13(ex+8)3- \frac{1}{3 \left(e^{x} + 8\right)^{3}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    13(ex+8)3+constant- \frac{1}{3 \left(e^{x} + 8\right)^{3}}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

13(ex+8)3+constant- \frac{1}{3 \left(e^{x} + 8\right)^{3}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                              
 |                               
 |      x                        
 |     E                   1     
 | --------- dx = C - -----------
 |         4                    3
 | / x    \             /     x\ 
 | \E  + 8/           3*\8 + E / 
 |                               
/                                
ex(ex+8)4dx=C13(ex+8)3\int \frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 8\right)^{4}}\, dx = C - \frac{1}{3 \left(e^{x} + 8\right)^{3}}
Gráfica
-0.010-0.008-0.006-0.004-0.0020.0100.0000.0020.0040.0060.008-0.00100.0005
Respuesta [src]
1/1536
11536\frac{1}{1536}
=
=
1/1536
11536\frac{1}{1536}
1/1536
Respuesta numérica [src]
0.000651041666666667
0.000651041666666667

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.