Integral de 3*x*dx/(sqrt(x)-2) dx

1. que $u = \sqrt{x}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $6 du$:

   $\int \frac{6 u^{3}}{u - 2}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{u^{3}}{u - 2}\, du = 6 \int \frac{u^{3}}{u - 2}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u^{3}}{u - 2} = u^{2} + 2 u + 4 + \frac{8}{u - 2}$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u\, du = 2 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $u^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 4\, du = 4 u$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{8}{u - 2}\, du = 8 \int \frac{1}{u - 2}\, du$

            1. que $u = u - 2$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u - 2 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $8 \log{\left(u - 2 \right)}$

         El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} + u^{2} + 4 u + 8 \log{\left(u - 2 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 u^{3} + 6 u^{2} + 24 u + 48 \log{\left(u - 2 \right)}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $2 x^{\frac{3}{2}} + 24 \sqrt{x} + 6 x + 48 \log{\left(\sqrt{x} - 2 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 x^{\frac{3}{2}} + 24 \sqrt{x} + 6 x + 48 \log{\left(\sqrt{x} - 2 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 x^{\frac{3}{2}} + 24 \sqrt{x} + 6 x + 48 \log{\left(\sqrt{x} - 2 \right)}+ \mathrm{constant}$