Integral de (1+3cos*x)*(sqrt(x)^4x+3*sin*x)*dx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(6 u^{7} \cos{\left(u^{2} \right)} + 2 u^{7} + 18 u \sin{\left(u^{2} \right)} \cos{\left(u^{2} \right)} + 6 u \sin{\left(u^{2} \right)}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 6 u^{7} \cos{\left(u^{2} \right)}\, du = 6 \int u^{7} \cos{\left(u^{2} \right)}\, du$

            1. que $u = u^{2}$.

               Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{u^{3} \cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{3} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int u^{3} \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. Usamos la integración por partes:

                     $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                     que $u{\left(u \right)} = u^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$.

                     Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 3 u^{2}$.

                     Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Ahora resolvemos podintegral.

                  2. Usamos la integración por partes:

                     $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                     que $u{\left(u \right)} = 3 u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$.

                     Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 6 u$.

                     Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                     1. La integral del seno es un coseno menos:

                        $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                     Ahora resolvemos podintegral.

                  3. Usamos la integración por partes:

                     $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                     que $u{\left(u \right)} = - 6 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$.

                     Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = -6$.

                     Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Ahora resolvemos podintegral.

                  4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- 6 \sin{\left(u \right)}\right)\, du = - 6 \int \sin{\left(u \right)}\, du$

                     1. La integral del seno es un coseno menos:

                        $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $6 \cos{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3} \sin{\left(u \right)}}{2} + \frac{3 u^{2} \cos{\left(u \right)}}{2} - 3 u \sin{\left(u \right)} - 3 \cos{\left(u \right)}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{u^{6} \sin{\left(u^{2} \right)}}{2} + \frac{3 u^{4} \cos{\left(u^{2} \right)}}{2} - 3 u^{2} \sin{\left(u^{2} \right)} - 3 \cos{\left(u^{2} \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $3 u^{6} \sin{\left(u^{2} \right)} + 9 u^{4} \cos{\left(u^{2} \right)} - 18 u^{2} \sin{\left(u^{2} \right)} - 18 \cos{\left(u^{2} \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{7}\, du = 2 \int u^{7}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{8}}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 18 u \sin{\left(u^{2} \right)} \cos{\left(u^{2} \right)}\, du = 18 \int u \sin{\left(u^{2} \right)} \cos{\left(u^{2} \right)}\, du$

            1. que $u = \cos{\left(u^{2} \right)}$.

               Luego que $du = - 2 u \sin{\left(u^{2} \right)} du$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

               $\int \left(- \frac{u}{2}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u\, du = - \frac{\int u\, du}{2}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos^{2}{\left(u^{2} \right)}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{9 \cos^{2}{\left(u^{2} \right)}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 6 u \sin{\left(u^{2} \right)}\, du = 6 \int u \sin{\left(u^{2} \right)}\, du$

            1. que $u = u^{2}$.

               Luego que $du = 2 u du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\cos{\left(u^{2} \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \cos{\left(u^{2} \right)}$

         El resultado es: $\frac{u^{8}}{4} + 3 u^{6} \sin{\left(u^{2} \right)} + 9 u^{4} \cos{\left(u^{2} \right)} - 18 u^{2} \sin{\left(u^{2} \right)} - \frac{9 \cos^{2}{\left(u^{2} \right)}}{2} - 21 \cos{\left(u^{2} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{4}}{4} + 3 x^{3} \sin{\left(x \right)} + 9 x^{2} \cos{\left(x \right)} - 18 x \sin{\left(x \right)} - \frac{9 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2} - 21 \cos{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x \left(\sqrt{x}\right)^{4} + 3 \sin{\left(x \right)}\right) \left(3 \cos{\left(x \right)} + 1\right) = 3 x^{3} \cos{\left(x \right)} + x^{3} + 9 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x^{3} \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int x^{3} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = 3 x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 6 x$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         3. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = - 6 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = -6$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 6 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 6 \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $6 \cos{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 x^{3} \sin{\left(x \right)} + 9 x^{2} \cos{\left(x \right)} - 18 x \sin{\left(x \right)} - 18 \cos{\left(x \right)}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 9 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 9 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{9 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 \sin{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \cos{\left(x \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{4}}{4} + 3 x^{3} \sin{\left(x \right)} + 9 x^{2} \cos{\left(x \right)} - 18 x \sin{\left(x \right)} - \frac{9 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2} - 21 \cos{\left(x \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x \left(\sqrt{x}\right)^{4} + 3 \sin{\left(x \right)}\right) \left(3 \cos{\left(x \right)} + 1\right) = x^{3} + 3 x x^{2} \cos{\left(x \right)} + 9 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 \sin{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x x^{2} \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int x x^{2} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = 3 x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 6 x$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         3. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = - 6 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = -6$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral del coseno es seno:

               $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 6 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 6 \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $6 \cos{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 x^{3} \sin{\left(x \right)} + 9 x^{2} \cos{\left(x \right)} - 18 x \sin{\left(x \right)} - 18 \cos{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 9 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 9 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{9 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 \sin{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3 \cos{\left(x \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{4}}{4} + 3 x^{3} \sin{\left(x \right)} + 9 x^{2} \cos{\left(x \right)} - 18 x \sin{\left(x \right)} - \frac{9 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2} - 21 \cos{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{4}}{4} + 3 x^{3} \sin{\left(x \right)} + 9 x^{2} \cos{\left(x \right)} - 18 x \sin{\left(x \right)} - \frac{9 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2} - 21 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{4}}{4} + 3 x^{3} \sin{\left(x \right)} + 9 x^{2} \cos{\left(x \right)} - 18 x \sin{\left(x \right)} - \frac{9 \cos^{2}{\left(x \right)}}{2} - 21 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$