Integral de x*exp(x)*cosy-exp(x)-y*sin(y)*exp(x)+cos(y)*exp(x) dx

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- y \sin{\left(y \right)} e^{x}\right)\, dx = - y \sin{\left(y \right)} \int e^{x}\, dx$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- y e^{x} \sin{\left(y \right)}$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int x e^{x} \cos{\left(y \right)}\, dx = \cos{\left(y \right)} \int x e^{x}\, dx$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(x \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\left(x e^{x} - e^{x}\right) \cos{\left(y \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- e^{x}\right)\, dx = - \int e^{x}\, dx$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- e^{x}$

         El resultado es: $\left(x e^{x} - e^{x}\right) \cos{\left(y \right)} - e^{x}$

      El resultado es: $- y e^{x} \sin{\left(y \right)} + \left(x e^{x} - e^{x}\right) \cos{\left(y \right)} - e^{x}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int e^{x} \cos{\left(y \right)}\, dx = \cos{\left(y \right)} \int e^{x}\, dx$

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $e^{x} \cos{\left(y \right)}$

   El resultado es: $- y e^{x} \sin{\left(y \right)} + \left(x e^{x} - e^{x}\right) \cos{\left(y \right)} + e^{x} \cos{\left(y \right)} - e^{x}$

2. Ahora simplificar:

   $\left(x \cos{\left(y \right)} - y \sin{\left(y \right)} - 1\right) e^{x}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\left(x \cos{\left(y \right)} - y \sin{\left(y \right)} - 1\right) e^{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(x \cos{\left(y \right)} - y \sin{\left(y \right)} - 1\right) e^{x}+ \mathrm{constant}$