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Resolución de integrales/ (x^3)/ (x^4+4)/ (x^3)/(sqrt(x^4+4)^3)

Integral de (x^3)/(sqrt(x^4+4)^3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo                
  /                
 |                 
 |        3        
 |       x         
 |  ------------ dx
 |             3   
 |     ________    
 |    /  4         
 |  \/  x  + 4     
 |                 
/                  
0
∫0∞x3(x4+4)3 dx\int\limits_{0}^{\infty} \frac{x^{3}}{\left(\sqrt{x^{4} + 4}\right)^{3}}\, dx 
Integral(x^3/(sqrt(x^4 + 4))^3, (x, 0, oo))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x3(x4+4)3=x3x4x4+4+4x4+4\frac{x^{3}}{\left(\sqrt{x^{4} + 4}\right)^{3}} = \frac{x^{3}}{x^{4} \sqrt{x^{4} + 4} + 4 \sqrt{x^{4} + 4}}

    2. que u=x4u = x^{4}.

      Luego que du=4x3dxdu = 4 x^{3} dx y ponemos dudu:

      ∫14uu+4+16u+4 du\int \frac{1}{4 u \sqrt{u + 4} + 16 \sqrt{u + 4}}\, du

      1. que u=u+4u = \sqrt{u + 4}.

        Luego que du=du2u+4du = \frac{du}{2 \sqrt{u + 4}} y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫12u2 du\int \frac{1}{2 u^{2}}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u2 du=∫1u2 du2\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{2}}\, du}{2}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −12u- \frac{1}{2 u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −12u+4- \frac{1}{2 \sqrt{u + 4}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −12x4+4- \frac{1}{2 \sqrt{x^{4} + 4}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x3(x4+4)3=x3x4x4+4+4x4+4\frac{x^{3}}{\left(\sqrt{x^{4} + 4}\right)^{3}} = \frac{x^{3}}{x^{4} \sqrt{x^{4} + 4} + 4 \sqrt{x^{4} + 4}}

    2. que u=x4u = x^{4}.

      Luego que du=4x3dxdu = 4 x^{3} dx y ponemos dudu:

      ∫14uu+4+16u+4 du\int \frac{1}{4 u \sqrt{u + 4} + 16 \sqrt{u + 4}}\, du

      1. que u=u+4u = \sqrt{u + 4}.

        Luego que du=du2u+4du = \frac{du}{2 \sqrt{u + 4}} y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫12u2 du\int \frac{1}{2 u^{2}}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u2 du=∫1u2 du2\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{2}}\, du}{2}

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −12u- \frac{1}{2 u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −12u+4- \frac{1}{2 \sqrt{u + 4}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −12x4+4- \frac{1}{2 \sqrt{x^{4} + 4}}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −12x4+4+constant- \frac{1}{2 \sqrt{x^{4} + 4}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−12x4+4+constant- \frac{1}{2 \sqrt{x^{4} + 4}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                   
 |                                    
 |       3                            
 |      x                      1      
 | ------------ dx = C - -------------
 |            3               ________
 |    ________               /      4 
 |   /  4                2*\/  4 + x  
 | \/  x  + 4                         
 |                                    
/
∫x3(x4+4)3 dx=C−12x4+4\int \frac{x^{3}}{\left(\sqrt{x^{4} + 4}\right)^{3}}\, dx = C - \frac{1}{2 \sqrt{x^{4} + 4}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-0.500.25
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
1/4
14\frac{1}{4} 
=
= 
1/4
14\frac{1}{4} 
1/4

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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