Integral de sqrt(sin(3x))cos(3x)+3 dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \sin{\left(3 x \right)}$.

         Luego que $du = 3 \cos{\left(3 x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{\sqrt{u}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{3}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 \sin^{\frac{3}{2}}{\left(3 x \right)}}{9}$

      Método #2

      1. que $u = 3 x$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{\sqrt{\sin{\left(u \right)}} \cos{\left(u \right)}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sqrt{\sin{\left(u \right)}} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sqrt{\sin{\left(u \right)}} \cos{\left(u \right)}\, du}{3}$

            1. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

               $\int \sqrt{u}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{2 \sin^{\frac{3}{2}}{\left(u \right)}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \sin^{\frac{3}{2}}{\left(u \right)}}{9}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 \sin^{\frac{3}{2}}{\left(3 x \right)}}{9}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 3\, dx = 3 x$

   El resultado es: $3 x + \frac{2 \sin^{\frac{3}{2}}{\left(3 x \right)}}{9}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $3 x + \frac{2 \sin^{\frac{3}{2}}{\left(3 x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$3 x + \frac{2 \sin^{\frac{3}{2}}{\left(3 x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$