Sr Examen

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Integral de x^3*sqrt(1+4*x^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  2                    
  /                    
 |                     
 |        __________   
 |   3   /        2    
 |  x *\/  1 + 4*x   dx
 |                     
/                      
0                      
$$\int\limits_{0}^{2} x^{3} \sqrt{4 x^{2} + 1}\, dx$$
Integral(x^3*sqrt(1 + 4*x^2), (x, 0, 2))
Solución detallada

    TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=tan(_theta)/2, rewritten=sin(_theta)**3/(16*cos(_theta)**6), substep=ConstantTimesRule(constant=1/16, other=sin(_theta)**3/cos(_theta)**6, substep=RewriteRule(rewritten=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)/cos(_theta)**6, substep=AlternativeRule(alternatives=[URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=1, substep=RewriteRule(rewritten=_u**(-4) - 1/_u**6, substep=AddRule(substeps=[PowerRule(base=_u, exp=-4, context=_u**(-4), symbol=_u), ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**(-6), substep=PowerRule(base=_u, exp=-6, context=_u**(-6), symbol=_u), context=-1/_u**6, symbol=_u)], context=_u**(-4) - 1/_u**6, symbol=_u), context=(_u**2 - 1)/_u**6, symbol=_u), context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=-(sin(_theta)*cos(_theta)**2 - sin(_theta))/cos(_theta)**6, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=(sin(_theta)*cos(_theta)**2 - sin(_theta))/cos(_theta)**6, substep=AlternativeRule(alternatives=[URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=(_u**2 - 1)/_u**6, substep=RewriteRule(rewritten=_u**(-4) - 1/_u**6, substep=AddRule(substeps=[PowerRule(base=_u, exp=-4, context=_u**(-4), symbol=_u), ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**(-6), substep=PowerRule(base=_u, exp=-6, context=_u**(-6), symbol=_u), context=-1/_u**6, symbol=_u)], context=_u**(-4) - 1/_u**6, symbol=_u), context=(_u**2 - 1)/_u**6, symbol=_u), context=(_u**2 - 1)/_u**6, symbol=_u), context=(sin(_theta)*cos(_theta)**2 - sin(_theta))/cos(_theta)**6, symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=sin(_theta)/cos(_theta)**4 - sin(_theta)/cos(_theta)**6, substep=AddRule(substeps=[URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**(-4), substep=PowerRule(base=_u, exp=-4, context=_u**(-4), symbol=_u), context=_u**(-4), symbol=_u), context=sin(_theta)/cos(_theta)**4, symbol=_theta), ConstantTimesRule(constant=-1, other=sin(_theta)/cos(_theta)**6, substep=URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**(-6), substep=PowerRule(base=_u, exp=-6, context=_u**(-6), symbol=_u), context=_u**(-6), symbol=_u), context=sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta), context=-sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta)], context=sin(_theta)/cos(_theta)**4 - sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta), context=(sin(_theta)*cos(_theta)**2 - sin(_theta))/cos(_theta)**6, symbol=_theta)], context=(sin(_theta)*cos(_theta)**2 - sin(_theta))/cos(_theta)**6, symbol=_theta), context=-(sin(_theta)*cos(_theta)**2 - sin(_theta))/cos(_theta)**6, symbol=_theta), context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=-sin(_theta)/cos(_theta)**4 + sin(_theta)/cos(_theta)**6, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1, other=sin(_theta)/cos(_theta)**4, substep=URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**(-4), substep=PowerRule(base=_u, exp=-4, context=_u**(-4), symbol=_u), context=_u**(-4), symbol=_u), context=sin(_theta)/cos(_theta)**4, symbol=_theta), context=-sin(_theta)/cos(_theta)**4, symbol=_theta), URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**(-6), substep=PowerRule(base=_u, exp=-6, context=_u**(-6), symbol=_u), context=_u**(-6), symbol=_u), context=sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta)], context=-sin(_theta)/cos(_theta)**4 + sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta), context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta)], context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta)/cos(_theta)**6, symbol=_theta), context=sin(_theta)**3/cos(_theta)**6, symbol=_theta), context=sin(_theta)**3/(16*cos(_theta)**6), symbol=_theta), restriction=True, context=x**3*sqrt(4*x**2 + 1), symbol=x)

  1. Ahora simplificar:

  2. Añadimos la constante de integración:


Respuesta:

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                       
 |                                     3/2             5/2
 |       __________          /       2\      /       2\   
 |  3   /        2           \1 + 4*x /      \1 + 4*x /   
 | x *\/  1 + 4*x   dx = C - ------------- + -------------
 |                                 48              80     
/                                                         
$$\int x^{3} \sqrt{4 x^{2} + 1}\, dx = C + \frac{\left(4 x^{2} + 1\right)^{\frac{5}{2}}}{80} - \frac{\left(4 x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{48}$$
Gráfica
Respuesta [src]
            ____
 1    391*\/ 17 
--- + ----------
120      120    
$$\frac{1}{120} + \frac{391 \sqrt{17}}{120}$$
=
=
            ____
 1    391*\/ 17 
--- + ----------
120      120    
$$\frac{1}{120} + \frac{391 \sqrt{17}}{120}$$
1/120 + 391*sqrt(17)/120
Respuesta numérica [src]
13.4427858301375
13.4427858301375

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.