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Resolución de integrales/ cosx// sinx/4/ (sinx/4+cosx/4)^2

Integral de (sinx/4+cosx/4)^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 2*pi                     
 ----                     
  3                       
   /                      
  |                       
  |                   2   
  |  /sin(x)   cos(x)\    
  |  |------ + ------|  dx
  |  \  4        4   /    
  |                       
 /                        
 0
∫02π3(sin⁡(x)4+cos⁡(x)4)2 dx\int\limits_{0}^{\frac{2 \pi}{3}} \left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{4}\right)^{2}\, dx 
Integral((sin(x)/4 + cos(x)/4)^2, (x, 0, 2*pi/3))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sin⁡(x)4+cos⁡(x)4)2=sin⁡2(x)16+sin⁡(x)cos⁡(x)8+cos⁡2(x)16\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{4}\right)^{2} = \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{8} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{16}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡2(x)16 dx=∫sin⁡2(x) dx16\int \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{16}\, dx = \frac{\int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx}{16}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin⁡2(x)=12−cos⁡(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          El resultado es: x2−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: x32−sin⁡(2x)64\frac{x}{32} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{64}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(x)cos⁡(x)8 dx=∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx8\int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx}{8}

        1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

            ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

          Método #2

          1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

            Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

            ∫u du\int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡2(x)2\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡2(x)16- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡2(x)16 dx=∫cos⁡2(x) dx16\int \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{16}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{16}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: x32+sin⁡(2x)64\frac{x}{32} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{64}

      El resultado es: x16−cos⁡2(x)16\frac{x}{16} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{16}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sin⁡(x)4+cos⁡(x)4)2=sin⁡2(x)16+sin⁡(x)cos⁡(x)8+cos⁡2(x)16\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{4}\right)^{2} = \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{8} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{16}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡2(x)16 dx=∫sin⁡2(x) dx16\int \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{16}\, dx = \frac{\int \sin^{2}{\left(x \right)}\, dx}{16}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          sin⁡2(x)=12−cos⁡(2x)2\sin^{2}{\left(x \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          El resultado es: x2−sin⁡(2x)4\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: x32−sin⁡(2x)64\frac{x}{32} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{64}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(x)cos⁡(x)8 dx=∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx8\int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{8}\, dx = \frac{\int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx}{8}

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡2(x)16- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡2(x)16 dx=∫cos⁡2(x) dx16\int \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{16}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{16}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: x32+sin⁡(2x)64\frac{x}{32} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{64}

      El resultado es: x16−cos⁡2(x)16\frac{x}{16} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{16}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x16−cos⁡2(x)16+constant\frac{x}{16} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{16}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x16−cos⁡2(x)16+constant\frac{x}{16} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{16}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                        
 |                                         
 |                  2             2        
 | /sin(x)   cos(x)\           cos (x)   x 
 | |------ + ------|  dx = C - ------- + --
 | \  4        4   /              16     16
 |                                         
/
∫(sin⁡(x)4+cos⁡(x)4)2 dx=C+x16−cos⁡2(x)16\int \left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{4}\right)^{2}\, dx = C + \frac{x}{16} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{16}
Simplificar
Gráfica
0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.00.00.2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
3    pi
-- + --
64   24
364+π24\frac{3}{64} + \frac{\pi}{24} 
=
= 
3    pi
-- + --
64   24
364+π24\frac{3}{64} + \frac{\pi}{24} 
3/64 + pi/24
Respuesta numérica [src] 
0.177774693899575
0.177774693899575

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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