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Resolución de integrales/ cos^2/ 8sinx/ 2sinx/ 8sinx/cos^2x(cosx-2sinx)

Integral de 8sinx/cos^2x(cosx-2sinx) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                                
  /                                
 |                                 
 |  8*sin(x)                       
 |  --------*(cos(x) - 2*sin(x)) dx
 |     2                           
 |  cos (x)                        
 |                                 
/                                  
0
∫018sin⁡(x)cos⁡2(x)(−2sin⁡(x)+cos⁡(x)) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{8 \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} \left(- 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)\, dx 
Integral(((8*sin(x))/cos(x)^2)*(cos(x) - 2*sin(x)), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      8sin⁡(x)cos⁡2(x)(−2sin⁡(x)+cos⁡(x))=−16sin⁡2(x)+8sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡2(x)\frac{8 \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} \left(- 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = \frac{- 16 \sin^{2}{\left(x \right)} + 8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      −16sin⁡2(x)+8sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡2(x)=−16sin⁡2(x)cos⁡2(x)+8sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{- 16 \sin^{2}{\left(x \right)} + 8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{16 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{8 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−16sin⁡2(x)cos⁡2(x)) dx=−16∫sin⁡2(x)cos⁡2(x) dx\int \left(- \frac{16 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - 16 \int \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          −x+sin⁡(x)cos⁡(x)- x + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

        Por lo tanto, el resultado es: 16x−16sin⁡(x)cos⁡(x)16 x - \frac{16 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫8sin⁡(x)cos⁡(x) dx=8∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int \frac{8 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx = 8 \int \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−1u) du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=−∫1u du\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)- \log{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −log⁡(cos⁡(x))- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −8log⁡(cos⁡(x))- 8 \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}

      El resultado es: 16x−8log⁡(cos⁡(x))−16sin⁡(x)cos⁡(x)16 x - 8 \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \frac{16 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      8sin⁡(x)cos⁡2(x)(−2sin⁡(x)+cos⁡(x))=−16sin⁡2(x)cos⁡2(x)+8sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡2(x)\frac{8 \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} \left(- 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) = - \frac{16 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \frac{8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−16sin⁡2(x)cos⁡2(x)) dx=−16∫sin⁡2(x)cos⁡2(x) dx\int \left(- \frac{16 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - 16 \int \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          −x+sin⁡(x)cos⁡(x)- x + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

        Por lo tanto, el resultado es: 16x−16sin⁡(x)cos⁡(x)16 x - \frac{16 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫8sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡2(x) dx=8∫sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡2(x) dx\int \frac{8 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx = 8 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx

        1. que u=1cos⁡2(x)u = \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}.

          Luego que du=2sin⁡(x)dxcos⁡3(x)du = \frac{2 \sin{\left(x \right)} dx}{\cos^{3}{\left(x \right)}} y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(1cos⁡2(x))2\frac{\log{\left(\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 4log⁡(1cos⁡2(x))4 \log{\left(\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} \right)}

      El resultado es: 16x+4log⁡(1cos⁡2(x))−16sin⁡(x)cos⁡(x)16 x + 4 \log{\left(\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}} \right)} - \frac{16 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

  2. Ahora simplificar:

    16x−8log⁡(cos⁡(x))−16tan⁡(x)16 x - 8 \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - 16 \tan{\left(x \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    16x−8log⁡(cos⁡(x))−16tan⁡(x)+constant16 x - 8 \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - 16 \tan{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

16x−8log⁡(cos⁡(x))−16tan⁡(x)+constant16 x - 8 \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - 16 \tan{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                      
 |                                                                       
 | 8*sin(x)                                                     16*sin(x)
 | --------*(cos(x) - 2*sin(x)) dx = C - 8*log(cos(x)) + 16*x - ---------
 |    2                                                           cos(x) 
 | cos (x)                                                               
 |                                                                       
/
∫8sin⁡(x)cos⁡2(x)(−2sin⁡(x)+cos⁡(x)) dx=C+16x−8log⁡(cos⁡(x))−16sin⁡(x)cos⁡(x)\int \frac{8 \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} \left(- 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = C + 16 x - 8 \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \frac{16 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-5025
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                     16*sin(1)
16 - 8*log(cos(1)) - ---------
                       cos(1)
−16sin⁡(1)cos⁡(1)−8log⁡(cos⁡(1))+16- \frac{16 \sin{\left(1 \right)}}{\cos{\left(1 \right)}} - 8 \log{\left(\cos{\left(1 \right)} \right)} + 16 
=
= 
                     16*sin(1)
16 - 8*log(cos(1)) - ---------
                       cos(1)
−16sin⁡(1)cos⁡(1)−8log⁡(cos⁡(1))+16- \frac{16 \sin{\left(1 \right)}}{\cos{\left(1 \right)}} - 8 \log{\left(\cos{\left(1 \right)} \right)} + 16 
16 - 8*log(cos(1)) - 16*sin(1)/cos(1)
Respuesta numérica [src] 
-3.99351183139032
-3.99351183139032

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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