Integral de sin(5x)/(4-cos(5x))^1/2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 5 x$.

      Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5 \sqrt{4 - \cos{\left(u \right)}}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\sqrt{4 - \cos{\left(u \right)}}}\, du = \frac{\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\sqrt{4 - \cos{\left(u \right)}}}\, du}{5}$

         1. que $u = 4 - \cos{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $2 \sqrt{4 - \cos{\left(u \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \sqrt{4 - \cos{\left(u \right)}}}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \sqrt{4 - \cos{\left(5 x \right)}}}{5}$

   Método #2

   1. que $u = \sqrt{4 - \cos{\left(5 x \right)}}$.

      Luego que $du = \frac{5 \sin{\left(5 x \right)} dx}{2 \sqrt{4 - \cos{\left(5 x \right)}}}$ y ponemos $\frac{2 du}{5}$:

      $\int \frac{2}{5}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \sqrt{4 - \cos{\left(5 x \right)}}}{5}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \sqrt{4 - \cos{\left(5 x \right)}}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \sqrt{4 - \cos{\left(5 x \right)}}}{5}+ \mathrm{constant}$