Integral de (a*x+b)/(2*exp(-x)) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{a x + b}{2 e^{- x}} = \frac{a x e^{x}}{2} + \frac{b e^{x}}{2}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{a x e^{x}}{2}\, dx = \frac{a \int x e^{x}\, dx}{2}$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{a \left(x e^{x} - e^{x}\right)}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{b e^{x}}{2}\, dx = \frac{b \int e^{x}\, dx}{2}$

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{b e^{x}}{2}$

   El resultado es: $\frac{a \left(x e^{x} - e^{x}\right)}{2} + \frac{b e^{x}}{2}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(a \left(x - 1\right) + b\right) e^{x}}{2}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(a \left(x - 1\right) + b\right) e^{x}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(a \left(x - 1\right) + b\right) e^{x}}{2}+ \mathrm{constant}$