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Resolución de integrales/ sin2x/ sinx*sin2x^2

Integral de sinx*sin2x^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                    
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 |  sin(x)*sin (2*x) dx
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0
∫01sin⁡(x)sin⁡2(2x) dx\int\limits_{0}^{1} \sin{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(2 x \right)}\, dx 
Integral(sin(x)*sin(2*x)^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡(x)sin⁡2(2x)=4sin⁡3(x)cos⁡2(x)\sin{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(2 x \right)} = 4 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫4sin⁡3(x)cos⁡2(x) dx=4∫sin⁡3(x)cos⁡2(x) dx\int 4 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin⁡3(x)cos⁡2(x)=(1−cos⁡2(x))sin⁡(x)cos⁡2(x)\sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

    2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        ∫(u4−u2) du\int \left(u^{4} - u^{2}\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−u2) du=−∫u2 du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

          El resultado es: u55−u33\frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{3}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        cos⁡5(x)5−cos⁡3(x)3\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (1−cos⁡2(x))sin⁡(x)cos⁡2(x)=−sin⁡(x)cos⁡4(x)+sin⁡(x)cos⁡2(x)\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−sin⁡(x)cos⁡4(x)) dx=−∫sin⁡(x)cos⁡4(x) dx\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx

          1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

            ∫(−u4) du\int \left(- u^{4}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u4 du=−∫u4 du\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

              Por lo tanto, el resultado es: −u55- \frac{u^{5}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡5(x)5- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: cos⁡5(x)5\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

        El resultado es: cos⁡5(x)5−cos⁡3(x)3\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (1−cos⁡2(x))sin⁡(x)cos⁡2(x)=−sin⁡(x)cos⁡4(x)+sin⁡(x)cos⁡2(x)\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−sin⁡(x)cos⁡4(x)) dx=−∫sin⁡(x)cos⁡4(x) dx\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx

          1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

            ∫(−u4) du\int \left(- u^{4}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u4 du=−∫u4 du\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

              Por lo tanto, el resultado es: −u55- \frac{u^{5}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡5(x)5- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: cos⁡5(x)5\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

        El resultado es: cos⁡5(x)5−cos⁡3(x)3\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

    Por lo tanto, el resultado es: 4cos⁡5(x)5−4cos⁡3(x)3\frac{4 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{4 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

  3. Ahora simplificar:

    4(3cos⁡2(x)−5)cos⁡3(x)15\frac{4 \left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} - 5\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{15}

  4. Añadimos la constante de integración:

    4(3cos⁡2(x)−5)cos⁡3(x)15+constant\frac{4 \left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} - 5\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{15}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

4(3cos⁡2(x)−5)cos⁡3(x)15+constant\frac{4 \left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} - 5\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{15}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
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 |                                3           5   
 |           2               4*cos (x)   4*cos (x)
 | sin(x)*sin (2*x) dx = C - --------- + ---------
 |                               3           5    
/
∫sin⁡(x)sin⁡2(2x) dx=C+4cos⁡5(x)5−4cos⁡3(x)3\int \sin{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(2 x \right)}\, dx = C + \frac{4 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{4 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901-1
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
          2                  2                                   
8    8*cos (2)*cos(1)   7*sin (2)*cos(1)   4*cos(2)*sin(1)*sin(2)
-- - ---------------- - ---------------- - ----------------------
15          15                 15                    15
−7sin⁡2(2)cos⁡(1)15−8cos⁡(1)cos⁡2(2)15−4sin⁡(1)sin⁡(2)cos⁡(2)15+815- \frac{7 \sin^{2}{\left(2 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{15} - \frac{8 \cos{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(2 \right)}}{15} - \frac{4 \sin{\left(1 \right)} \sin{\left(2 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{15} + \frac{8}{15} 
=
= 
          2                  2                                   
8    8*cos (2)*cos(1)   7*sin (2)*cos(1)   4*cos(2)*sin(1)*sin(2)
-- - ---------------- - ---------------- - ----------------------
15          15                 15                    15
−7sin⁡2(2)cos⁡(1)15−8cos⁡(1)cos⁡2(2)15−4sin⁡(1)sin⁡(2)cos⁡(2)15+815- \frac{7 \sin^{2}{\left(2 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{15} - \frac{8 \cos{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(2 \right)}}{15} - \frac{4 \sin{\left(1 \right)} \sin{\left(2 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{15} + \frac{8}{15} 
8/15 - 8*cos(2)^2*cos(1)/15 - 7*sin(2)^2*cos(1)/15 - 4*cos(2)*sin(1)*sin(2)/15
Respuesta numérica [src] 
0.359864664389129
0.359864664389129

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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