Sr Examen

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Integral de sinx*sin2x^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
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 |  sin(x)*sin (2*x) dx
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0                      
01sin(x)sin2(2x)dx\int\limits_{0}^{1} \sin{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(2 x \right)}\, dx
Integral(sin(x)*sin(2*x)^2, (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin(x)sin2(2x)=4sin3(x)cos2(x)\sin{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(2 x \right)} = 4 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    4sin3(x)cos2(x)dx=4sin3(x)cos2(x)dx\int 4 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      sin3(x)cos2(x)=(1cos2(x))sin(x)cos2(x)\sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

    2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        (u4u2)du\int \left(u^{4} - u^{2}\right)\, du

        1. Integramos término a término:

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u4du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            (u2)du=u2du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: u33- \frac{u^{3}}{3}

          El resultado es: u55u33\frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{3}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        cos5(x)5cos3(x)3\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (1cos2(x))sin(x)cos2(x)=sin(x)cos4(x)+sin(x)cos2(x)\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (sin(x)cos4(x))dx=sin(x)cos4(x)dx\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx

          1. que u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos du- du:

            (u4)du\int \left(- u^{4}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              u4du=u4du\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                u4du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

              Por lo tanto, el resultado es: u55- \frac{u^{5}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            cos5(x)5- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: cos5(x)5\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

        1. que u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos du- du:

          (u2)du\int \left(- u^{2}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            u2du=u2du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: u33- \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          cos3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

        El resultado es: cos5(x)5cos3(x)3\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (1cos2(x))sin(x)cos2(x)=sin(x)cos4(x)+sin(x)cos2(x)\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          (sin(x)cos4(x))dx=sin(x)cos4(x)dx\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx

          1. que u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

            Luego que du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos du- du:

            (u4)du\int \left(- u^{4}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              u4du=u4du\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

                u4du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

              Por lo tanto, el resultado es: u55- \frac{u^{5}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            cos5(x)5- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: cos5(x)5\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}

        1. que u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos du- du:

          (u2)du\int \left(- u^{2}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            u2du=u2du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: u33- \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          cos3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

        El resultado es: cos5(x)5cos3(x)3\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

    Por lo tanto, el resultado es: 4cos5(x)54cos3(x)3\frac{4 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{4 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

  3. Ahora simplificar:

    4(3cos2(x)5)cos3(x)15\frac{4 \left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} - 5\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{15}

  4. Añadimos la constante de integración:

    4(3cos2(x)5)cos3(x)15+constant\frac{4 \left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} - 5\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{15}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

4(3cos2(x)5)cos3(x)15+constant\frac{4 \left(3 \cos^{2}{\left(x \right)} - 5\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{15}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
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 |                                3           5   
 |           2               4*cos (x)   4*cos (x)
 | sin(x)*sin (2*x) dx = C - --------- + ---------
 |                               3           5    
/                                                 
sin(x)sin2(2x)dx=C+4cos5(x)54cos3(x)3\int \sin{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(2 x \right)}\, dx = C + \frac{4 \cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{4 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901-1
Respuesta [src]
          2                  2                                   
8    8*cos (2)*cos(1)   7*sin (2)*cos(1)   4*cos(2)*sin(1)*sin(2)
-- - ---------------- - ---------------- - ----------------------
15          15                 15                    15          
7sin2(2)cos(1)158cos(1)cos2(2)154sin(1)sin(2)cos(2)15+815- \frac{7 \sin^{2}{\left(2 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{15} - \frac{8 \cos{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(2 \right)}}{15} - \frac{4 \sin{\left(1 \right)} \sin{\left(2 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{15} + \frac{8}{15}
=
=
          2                  2                                   
8    8*cos (2)*cos(1)   7*sin (2)*cos(1)   4*cos(2)*sin(1)*sin(2)
-- - ---------------- - ---------------- - ----------------------
15          15                 15                    15          
7sin2(2)cos(1)158cos(1)cos2(2)154sin(1)sin(2)cos(2)15+815- \frac{7 \sin^{2}{\left(2 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{15} - \frac{8 \cos{\left(1 \right)} \cos^{2}{\left(2 \right)}}{15} - \frac{4 \sin{\left(1 \right)} \sin{\left(2 \right)} \cos{\left(2 \right)}}{15} + \frac{8}{15}
8/15 - 8*cos(2)^2*cos(1)/15 - 7*sin(2)^2*cos(1)/15 - 4*cos(2)*sin(1)*sin(2)/15
Respuesta numérica [src]
0.359864664389129
0.359864664389129

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.