Integral de f(x)=1/cos^22x-1/sin^2 dx
Solución
Solución detallada
Integramos término a término:
Vuelva a escribir el integrando:
sec 22 ( x ) = ( tan 2 ( x ) + 1 ) 10 sec 2 ( x ) \sec^{22}{\left(x \right)} = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{10} \sec^{2}{\left(x \right)} sec 22 ( x ) = ( tan 2 ( x ) + 1 ) 10 sec 2 ( x )
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
Vuelva a escribir el integrando:
( tan 2 ( x ) + 1 ) 10 sec 2 ( x ) = tan 20 ( x ) sec 2 ( x ) + 10 tan 18 ( x ) sec 2 ( x ) + 45 tan 16 ( x ) sec 2 ( x ) + 120 tan 14 ( x ) sec 2 ( x ) + 210 tan 12 ( x ) sec 2 ( x ) + 252 tan 10 ( x ) sec 2 ( x ) + 210 tan 8 ( x ) sec 2 ( x ) + 120 tan 6 ( x ) sec 2 ( x ) + 45 tan 4 ( x ) sec 2 ( x ) + 10 tan 2 ( x ) sec 2 ( x ) + sec 2 ( x ) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{10} \sec^{2}{\left(x \right)} = \tan^{20}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 10 \tan^{18}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 45 \tan^{16}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 120 \tan^{14}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 210 \tan^{12}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 252 \tan^{10}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 210 \tan^{8}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 120 \tan^{6}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 45 \tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 10 \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \sec^{2}{\left(x \right)} ( tan 2 ( x ) + 1 ) 10 sec 2 ( x ) = tan 20 ( x ) sec 2 ( x ) + 10 tan 18 ( x ) sec 2 ( x ) + 45 tan 16 ( x ) sec 2 ( x ) + 120 tan 14 ( x ) sec 2 ( x ) + 210 tan 12 ( x ) sec 2 ( x ) + 252 tan 10 ( x ) sec 2 ( x ) + 210 tan 8 ( x ) sec 2 ( x ) + 120 tan 6 ( x ) sec 2 ( x ) + 45 tan 4 ( x ) sec 2 ( x ) + 10 tan 2 ( x ) sec 2 ( x ) + sec 2 ( x )
Integramos término a término:
que u = tan ( x ) u = \tan{\left(x \right)} u = tan ( x )
Luego que d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x d u du d u
∫ u 20 d u \int u^{20}\, du ∫ u 20 d u
Integral u n u^{n} u n u n + 1 n + 1 \frac{u^{n + 1}}{n + 1} n + 1 u n + 1 n ≠ − 1 n \neq -1 n = − 1
∫ u 20 d u = u 21 21 \int u^{20}\, du = \frac{u^{21}}{21} ∫ u 20 d u = 21 u 21
Si ahora sustituir u u u
tan 21 ( x ) 21 \frac{\tan^{21}{\left(x \right)}}{21} 21 t a n 21 ( x )
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ 10 tan 18 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 10 ∫ tan 18 ( x ) sec 2 ( x ) d x \int 10 \tan^{18}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 10 \int \tan^{18}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx ∫ 10 tan 18 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 10 ∫ tan 18 ( x ) sec 2 ( x ) d x
que u = tan ( x ) u = \tan{\left(x \right)} u = tan ( x )
Luego que d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x d u du d u
∫ u 18 d u \int u^{18}\, du ∫ u 18 d u
Integral u n u^{n} u n u n + 1 n + 1 \frac{u^{n + 1}}{n + 1} n + 1 u n + 1 n ≠ − 1 n \neq -1 n = − 1
∫ u 18 d u = u 19 19 \int u^{18}\, du = \frac{u^{19}}{19} ∫ u 18 d u = 19 u 19
Si ahora sustituir u u u
tan 19 ( x ) 19 \frac{\tan^{19}{\left(x \right)}}{19} 19 t a n 19 ( x )
Por lo tanto, el resultado es: 10 tan 19 ( x ) 19 \frac{10 \tan^{19}{\left(x \right)}}{19} 19 10 t a n 19 ( x )
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ 45 tan 16 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 45 ∫ tan 16 ( x ) sec 2 ( x ) d x \int 45 \tan^{16}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 45 \int \tan^{16}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx ∫ 45 tan 16 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 45 ∫ tan 16 ( x ) sec 2 ( x ) d x
que u = tan ( x ) u = \tan{\left(x \right)} u = tan ( x )
Luego que d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x d u du d u
∫ u 16 d u \int u^{16}\, du ∫ u 16 d u
Integral u n u^{n} u n u n + 1 n + 1 \frac{u^{n + 1}}{n + 1} n + 1 u n + 1 n ≠ − 1 n \neq -1 n = − 1
∫ u 16 d u = u 17 17 \int u^{16}\, du = \frac{u^{17}}{17} ∫ u 16 d u = 17 u 17
Si ahora sustituir u u u
tan 17 ( x ) 17 \frac{\tan^{17}{\left(x \right)}}{17} 17 t a n 17 ( x )
Por lo tanto, el resultado es: 45 tan 17 ( x ) 17 \frac{45 \tan^{17}{\left(x \right)}}{17} 17 45 t a n 17 ( x )
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ 120 tan 14 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 120 ∫ tan 14 ( x ) sec 2 ( x ) d x \int 120 \tan^{14}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 120 \int \tan^{14}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx ∫ 120 tan 14 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 120 ∫ tan 14 ( x ) sec 2 ( x ) d x
que u = tan ( x ) u = \tan{\left(x \right)} u = tan ( x )
Luego que d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x d u du d u
∫ u 14 d u \int u^{14}\, du ∫ u 14 d u
Integral u n u^{n} u n u n + 1 n + 1 \frac{u^{n + 1}}{n + 1} n + 1 u n + 1 n ≠ − 1 n \neq -1 n = − 1
∫ u 14 d u = u 15 15 \int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15} ∫ u 14 d u = 15 u 15
Si ahora sustituir u u u
tan 15 ( x ) 15 \frac{\tan^{15}{\left(x \right)}}{15} 15 t a n 15 ( x )
Por lo tanto, el resultado es: 8 tan 15 ( x ) 8 \tan^{15}{\left(x \right)} 8 tan 15 ( x )
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ 210 tan 12 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 210 ∫ tan 12 ( x ) sec 2 ( x ) d x \int 210 \tan^{12}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 210 \int \tan^{12}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx ∫ 210 tan 12 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 210 ∫ tan 12 ( x ) sec 2 ( x ) d x
que u = tan ( x ) u = \tan{\left(x \right)} u = tan ( x )
Luego que d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x d u du d u
∫ u 12 d u \int u^{12}\, du ∫ u 12 d u
Integral u n u^{n} u n u n + 1 n + 1 \frac{u^{n + 1}}{n + 1} n + 1 u n + 1 n ≠ − 1 n \neq -1 n = − 1
∫ u 12 d u = u 13 13 \int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13} ∫ u 12 d u = 13 u 13
Si ahora sustituir u u u
tan 13 ( x ) 13 \frac{\tan^{13}{\left(x \right)}}{13} 13 t a n 13 ( x )
Por lo tanto, el resultado es: 210 tan 13 ( x ) 13 \frac{210 \tan^{13}{\left(x \right)}}{13} 13 210 t a n 13 ( x )
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ 252 tan 10 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 252 ∫ tan 10 ( x ) sec 2 ( x ) d x \int 252 \tan^{10}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 252 \int \tan^{10}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx ∫ 252 tan 10 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 252 ∫ tan 10 ( x ) sec 2 ( x ) d x
que u = tan ( x ) u = \tan{\left(x \right)} u = tan ( x )
Luego que d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x d u du d u
∫ u 10 d u \int u^{10}\, du ∫ u 10 d u
Integral u n u^{n} u n u n + 1 n + 1 \frac{u^{n + 1}}{n + 1} n + 1 u n + 1 n ≠ − 1 n \neq -1 n = − 1
∫ u 10 d u = u 11 11 \int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11} ∫ u 10 d u = 11 u 11
Si ahora sustituir u u u
tan 11 ( x ) 11 \frac{\tan^{11}{\left(x \right)}}{11} 11 t a n 11 ( x )
Por lo tanto, el resultado es: 252 tan 11 ( x ) 11 \frac{252 \tan^{11}{\left(x \right)}}{11} 11 252 t a n 11 ( x )
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ 210 tan 8 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 210 ∫ tan 8 ( x ) sec 2 ( x ) d x \int 210 \tan^{8}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 210 \int \tan^{8}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx ∫ 210 tan 8 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 210 ∫ tan 8 ( x ) sec 2 ( x ) d x
que u = tan ( x ) u = \tan{\left(x \right)} u = tan ( x )
Luego que d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x d u du d u
∫ u 8 d u \int u^{8}\, du ∫ u 8 d u
Integral u n u^{n} u n u n + 1 n + 1 \frac{u^{n + 1}}{n + 1} n + 1 u n + 1 n ≠ − 1 n \neq -1 n = − 1
∫ u 8 d u = u 9 9 \int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9} ∫ u 8 d u = 9 u 9
Si ahora sustituir u u u
tan 9 ( x ) 9 \frac{\tan^{9}{\left(x \right)}}{9} 9 t a n 9 ( x )
Por lo tanto, el resultado es: 70 tan 9 ( x ) 3 \frac{70 \tan^{9}{\left(x \right)}}{3} 3 70 t a n 9 ( x )
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ 120 tan 6 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 120 ∫ tan 6 ( x ) sec 2 ( x ) d x \int 120 \tan^{6}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 120 \int \tan^{6}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx ∫ 120 tan 6 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 120 ∫ tan 6 ( x ) sec 2 ( x ) d x
que u = tan ( x ) u = \tan{\left(x \right)} u = tan ( x )
Luego que d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x d u du d u
∫ u 6 d u \int u^{6}\, du ∫ u 6 d u
Integral u n u^{n} u n u n + 1 n + 1 \frac{u^{n + 1}}{n + 1} n + 1 u n + 1 n ≠ − 1 n \neq -1 n = − 1
∫ u 6 d u = u 7 7 \int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7} ∫ u 6 d u = 7 u 7
Si ahora sustituir u u u
tan 7 ( x ) 7 \frac{\tan^{7}{\left(x \right)}}{7} 7 t a n 7 ( x )
Por lo tanto, el resultado es: 120 tan 7 ( x ) 7 \frac{120 \tan^{7}{\left(x \right)}}{7} 7 120 t a n 7 ( x )
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ 45 tan 4 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 45 ∫ tan 4 ( x ) sec 2 ( x ) d x \int 45 \tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 45 \int \tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx ∫ 45 tan 4 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 45 ∫ tan 4 ( x ) sec 2 ( x ) d x
que u = tan ( x ) u = \tan{\left(x \right)} u = tan ( x )
Luego que d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x d u du d u
∫ u 4 d u \int u^{4}\, du ∫ u 4 d u
Integral u n u^{n} u n u n + 1 n + 1 \frac{u^{n + 1}}{n + 1} n + 1 u n + 1 n ≠ − 1 n \neq -1 n = − 1
∫ u 4 d u = u 5 5 \int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5} ∫ u 4 d u = 5 u 5
Si ahora sustituir u u u
tan 5 ( x ) 5 \frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5} 5 t a n 5 ( x )
Por lo tanto, el resultado es: 9 tan 5 ( x ) 9 \tan^{5}{\left(x \right)} 9 tan 5 ( x )
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ 10 tan 2 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 10 ∫ tan 2 ( x ) sec 2 ( x ) d x \int 10 \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 10 \int \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx ∫ 10 tan 2 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 10 ∫ tan 2 ( x ) sec 2 ( x ) d x
que u = tan ( x ) u = \tan{\left(x \right)} u = tan ( x )
Luego que d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x d u du d u
∫ u 2 d u \int u^{2}\, du ∫ u 2 d u
Integral u n u^{n} u n u n + 1 n + 1 \frac{u^{n + 1}}{n + 1} n + 1 u n + 1 n ≠ − 1 n \neq -1 n = − 1
∫ u 2 d u = u 3 3 \int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3} ∫ u 2 d u = 3 u 3
Si ahora sustituir u u u
tan 3 ( x ) 3 \frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} 3 t a n 3 ( x )
Por lo tanto, el resultado es: 10 tan 3 ( x ) 3 \frac{10 \tan^{3}{\left(x \right)}}{3} 3 10 t a n 3 ( x )
∫ sec 2 ( x ) d x = tan ( x ) \int \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = \tan{\left(x \right)} ∫ sec 2 ( x ) d x = tan ( x )
El resultado es: tan 21 ( x ) 21 + 10 tan 19 ( x ) 19 + 45 tan 17 ( x ) 17 + 8 tan 15 ( x ) + 210 tan 13 ( x ) 13 + 252 tan 11 ( x ) 11 + 70 tan 9 ( x ) 3 + 120 tan 7 ( x ) 7 + 9 tan 5 ( x ) + 10 tan 3 ( x ) 3 + tan ( x ) \frac{\tan^{21}{\left(x \right)}}{21} + \frac{10 \tan^{19}{\left(x \right)}}{19} + \frac{45 \tan^{17}{\left(x \right)}}{17} + 8 \tan^{15}{\left(x \right)} + \frac{210 \tan^{13}{\left(x \right)}}{13} + \frac{252 \tan^{11}{\left(x \right)}}{11} + \frac{70 \tan^{9}{\left(x \right)}}{3} + \frac{120 \tan^{7}{\left(x \right)}}{7} + 9 \tan^{5}{\left(x \right)} + \frac{10 \tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)} 21 t a n 21 ( x ) + 19 10 t a n 19 ( x ) + 17 45 t a n 17 ( x ) + 8 tan 15 ( x ) + 13 210 t a n 13 ( x ) + 11 252 t a n 11 ( x ) + 3 70 t a n 9 ( x ) + 7 120 t a n 7 ( x ) + 9 tan 5 ( x ) + 3 10 t a n 3 ( x ) + tan ( x )
Método #2
Vuelva a escribir el integrando:
( tan 2 ( x ) + 1 ) 10 sec 2 ( x ) = tan 20 ( x ) sec 2 ( x ) + 10 tan 18 ( x ) sec 2 ( x ) + 45 tan 16 ( x ) sec 2 ( x ) + 120 tan 14 ( x ) sec 2 ( x ) + 210 tan 12 ( x ) sec 2 ( x ) + 252 tan 10 ( x ) sec 2 ( x ) + 210 tan 8 ( x ) sec 2 ( x ) + 120 tan 6 ( x ) sec 2 ( x ) + 45 tan 4 ( x ) sec 2 ( x ) + 10 tan 2 ( x ) sec 2 ( x ) + sec 2 ( x ) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{10} \sec^{2}{\left(x \right)} = \tan^{20}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 10 \tan^{18}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 45 \tan^{16}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 120 \tan^{14}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 210 \tan^{12}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 252 \tan^{10}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 210 \tan^{8}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 120 \tan^{6}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 45 \tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 10 \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \sec^{2}{\left(x \right)} ( tan 2 ( x ) + 1 ) 10 sec 2 ( x ) = tan 20 ( x ) sec 2 ( x ) + 10 tan 18 ( x ) sec 2 ( x ) + 45 tan 16 ( x ) sec 2 ( x ) + 120 tan 14 ( x ) sec 2 ( x ) + 210 tan 12 ( x ) sec 2 ( x ) + 252 tan 10 ( x ) sec 2 ( x ) + 210 tan 8 ( x ) sec 2 ( x ) + 120 tan 6 ( x ) sec 2 ( x ) + 45 tan 4 ( x ) sec 2 ( x ) + 10 tan 2 ( x ) sec 2 ( x ) + sec 2 ( x )
Integramos término a término:
que u = tan ( x ) u = \tan{\left(x \right)} u = tan ( x )
Luego que d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x d u du d u
∫ u 20 d u \int u^{20}\, du ∫ u 20 d u
Integral u n u^{n} u n u n + 1 n + 1 \frac{u^{n + 1}}{n + 1} n + 1 u n + 1 n ≠ − 1 n \neq -1 n = − 1
∫ u 20 d u = u 21 21 \int u^{20}\, du = \frac{u^{21}}{21} ∫ u 20 d u = 21 u 21
Si ahora sustituir u u u
tan 21 ( x ) 21 \frac{\tan^{21}{\left(x \right)}}{21} 21 t a n 21 ( x )
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ 10 tan 18 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 10 ∫ tan 18 ( x ) sec 2 ( x ) d x \int 10 \tan^{18}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 10 \int \tan^{18}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx ∫ 10 tan 18 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 10 ∫ tan 18 ( x ) sec 2 ( x ) d x
que u = tan ( x ) u = \tan{\left(x \right)} u = tan ( x )
Luego que d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x d u du d u
∫ u 18 d u \int u^{18}\, du ∫ u 18 d u
Integral u n u^{n} u n u n + 1 n + 1 \frac{u^{n + 1}}{n + 1} n + 1 u n + 1 n ≠ − 1 n \neq -1 n = − 1
∫ u 18 d u = u 19 19 \int u^{18}\, du = \frac{u^{19}}{19} ∫ u 18 d u = 19 u 19
Si ahora sustituir u u u
tan 19 ( x ) 19 \frac{\tan^{19}{\left(x \right)}}{19} 19 t a n 19 ( x )
Por lo tanto, el resultado es: 10 tan 19 ( x ) 19 \frac{10 \tan^{19}{\left(x \right)}}{19} 19 10 t a n 19 ( x )
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ 45 tan 16 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 45 ∫ tan 16 ( x ) sec 2 ( x ) d x \int 45 \tan^{16}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 45 \int \tan^{16}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx ∫ 45 tan 16 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 45 ∫ tan 16 ( x ) sec 2 ( x ) d x
que u = tan ( x ) u = \tan{\left(x \right)} u = tan ( x )
Luego que d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x d u du d u
∫ u 16 d u \int u^{16}\, du ∫ u 16 d u
Integral u n u^{n} u n u n + 1 n + 1 \frac{u^{n + 1}}{n + 1} n + 1 u n + 1 n ≠ − 1 n \neq -1 n = − 1
∫ u 16 d u = u 17 17 \int u^{16}\, du = \frac{u^{17}}{17} ∫ u 16 d u = 17 u 17
Si ahora sustituir u u u
tan 17 ( x ) 17 \frac{\tan^{17}{\left(x \right)}}{17} 17 t a n 17 ( x )
Por lo tanto, el resultado es: 45 tan 17 ( x ) 17 \frac{45 \tan^{17}{\left(x \right)}}{17} 17 45 t a n 17 ( x )
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ 120 tan 14 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 120 ∫ tan 14 ( x ) sec 2 ( x ) d x \int 120 \tan^{14}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 120 \int \tan^{14}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx ∫ 120 tan 14 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 120 ∫ tan 14 ( x ) sec 2 ( x ) d x
que u = tan ( x ) u = \tan{\left(x \right)} u = tan ( x )
Luego que d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x d u du d u
∫ u 14 d u \int u^{14}\, du ∫ u 14 d u
Integral u n u^{n} u n u n + 1 n + 1 \frac{u^{n + 1}}{n + 1} n + 1 u n + 1 n ≠ − 1 n \neq -1 n = − 1
∫ u 14 d u = u 15 15 \int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15} ∫ u 14 d u = 15 u 15
Si ahora sustituir u u u
tan 15 ( x ) 15 \frac{\tan^{15}{\left(x \right)}}{15} 15 t a n 15 ( x )
Por lo tanto, el resultado es: 8 tan 15 ( x ) 8 \tan^{15}{\left(x \right)} 8 tan 15 ( x )
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ 210 tan 12 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 210 ∫ tan 12 ( x ) sec 2 ( x ) d x \int 210 \tan^{12}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 210 \int \tan^{12}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx ∫ 210 tan 12 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 210 ∫ tan 12 ( x ) sec 2 ( x ) d x
que u = tan ( x ) u = \tan{\left(x \right)} u = tan ( x )
Luego que d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x d u du d u
∫ u 12 d u \int u^{12}\, du ∫ u 12 d u
Integral u n u^{n} u n u n + 1 n + 1 \frac{u^{n + 1}}{n + 1} n + 1 u n + 1 n ≠ − 1 n \neq -1 n = − 1
∫ u 12 d u = u 13 13 \int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13} ∫ u 12 d u = 13 u 13
Si ahora sustituir u u u
tan 13 ( x ) 13 \frac{\tan^{13}{\left(x \right)}}{13} 13 t a n 13 ( x )
Por lo tanto, el resultado es: 210 tan 13 ( x ) 13 \frac{210 \tan^{13}{\left(x \right)}}{13} 13 210 t a n 13 ( x )
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ 252 tan 10 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 252 ∫ tan 10 ( x ) sec 2 ( x ) d x \int 252 \tan^{10}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 252 \int \tan^{10}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx ∫ 252 tan 10 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 252 ∫ tan 10 ( x ) sec 2 ( x ) d x
que u = tan ( x ) u = \tan{\left(x \right)} u = tan ( x )
Luego que d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x d u du d u
∫ u 10 d u \int u^{10}\, du ∫ u 10 d u
Integral u n u^{n} u n u n + 1 n + 1 \frac{u^{n + 1}}{n + 1} n + 1 u n + 1 n ≠ − 1 n \neq -1 n = − 1
∫ u 10 d u = u 11 11 \int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11} ∫ u 10 d u = 11 u 11
Si ahora sustituir u u u
tan 11 ( x ) 11 \frac{\tan^{11}{\left(x \right)}}{11} 11 t a n 11 ( x )
Por lo tanto, el resultado es: 252 tan 11 ( x ) 11 \frac{252 \tan^{11}{\left(x \right)}}{11} 11 252 t a n 11 ( x )
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ 210 tan 8 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 210 ∫ tan 8 ( x ) sec 2 ( x ) d x \int 210 \tan^{8}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 210 \int \tan^{8}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx ∫ 210 tan 8 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 210 ∫ tan 8 ( x ) sec 2 ( x ) d x
que u = tan ( x ) u = \tan{\left(x \right)} u = tan ( x )
Luego que d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x d u du d u
∫ u 8 d u \int u^{8}\, du ∫ u 8 d u
Integral u n u^{n} u n u n + 1 n + 1 \frac{u^{n + 1}}{n + 1} n + 1 u n + 1 n ≠ − 1 n \neq -1 n = − 1
∫ u 8 d u = u 9 9 \int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9} ∫ u 8 d u = 9 u 9
Si ahora sustituir u u u
tan 9 ( x ) 9 \frac{\tan^{9}{\left(x \right)}}{9} 9 t a n 9 ( x )
Por lo tanto, el resultado es: 70 tan 9 ( x ) 3 \frac{70 \tan^{9}{\left(x \right)}}{3} 3 70 t a n 9 ( x )
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ 120 tan 6 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 120 ∫ tan 6 ( x ) sec 2 ( x ) d x \int 120 \tan^{6}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 120 \int \tan^{6}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx ∫ 120 tan 6 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 120 ∫ tan 6 ( x ) sec 2 ( x ) d x
que u = tan ( x ) u = \tan{\left(x \right)} u = tan ( x )
Luego que d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x d u du d u
∫ u 6 d u \int u^{6}\, du ∫ u 6 d u
Integral u n u^{n} u n u n + 1 n + 1 \frac{u^{n + 1}}{n + 1} n + 1 u n + 1 n ≠ − 1 n \neq -1 n = − 1
∫ u 6 d u = u 7 7 \int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7} ∫ u 6 d u = 7 u 7
Si ahora sustituir u u u
tan 7 ( x ) 7 \frac{\tan^{7}{\left(x \right)}}{7} 7 t a n 7 ( x )
Por lo tanto, el resultado es: 120 tan 7 ( x ) 7 \frac{120 \tan^{7}{\left(x \right)}}{7} 7 120 t a n 7 ( x )
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ 45 tan 4 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 45 ∫ tan 4 ( x ) sec 2 ( x ) d x \int 45 \tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 45 \int \tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx ∫ 45 tan 4 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 45 ∫ tan 4 ( x ) sec 2 ( x ) d x
que u = tan ( x ) u = \tan{\left(x \right)} u = tan ( x )
Luego que d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x d u du d u
∫ u 4 d u \int u^{4}\, du ∫ u 4 d u
Integral u n u^{n} u n u n + 1 n + 1 \frac{u^{n + 1}}{n + 1} n + 1 u n + 1 n ≠ − 1 n \neq -1 n = − 1
∫ u 4 d u = u 5 5 \int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5} ∫ u 4 d u = 5 u 5
Si ahora sustituir u u u
tan 5 ( x ) 5 \frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5} 5 t a n 5 ( x )
Por lo tanto, el resultado es: 9 tan 5 ( x ) 9 \tan^{5}{\left(x \right)} 9 tan 5 ( x )
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ 10 tan 2 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 10 ∫ tan 2 ( x ) sec 2 ( x ) d x \int 10 \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 10 \int \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx ∫ 10 tan 2 ( x ) sec 2 ( x ) d x = 10 ∫ tan 2 ( x ) sec 2 ( x ) d x
que u = tan ( x ) u = \tan{\left(x \right)} u = tan ( x )
Luego que d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx d u = ( tan 2 ( x ) + 1 ) d x d u du d u
∫ u 2 d u \int u^{2}\, du ∫ u 2 d u
Integral u n u^{n} u n u n + 1 n + 1 \frac{u^{n + 1}}{n + 1} n + 1 u n + 1 n ≠ − 1 n \neq -1 n = − 1
∫ u 2 d u = u 3 3 \int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3} ∫ u 2 d u = 3 u 3
Si ahora sustituir u u u
tan 3 ( x ) 3 \frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} 3 t a n 3 ( x )
Por lo tanto, el resultado es: 10 tan 3 ( x ) 3 \frac{10 \tan^{3}{\left(x \right)}}{3} 3 10 t a n 3 ( x )
∫ sec 2 ( x ) d x = tan ( x ) \int \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = \tan{\left(x \right)} ∫ sec 2 ( x ) d x = tan ( x )
El resultado es: tan 21 ( x ) 21 + 10 tan 19 ( x ) 19 + 45 tan 17 ( x ) 17 + 8 tan 15 ( x ) + 210 tan 13 ( x ) 13 + 252 tan 11 ( x ) 11 + 70 tan 9 ( x ) 3 + 120 tan 7 ( x ) 7 + 9 tan 5 ( x ) + 10 tan 3 ( x ) 3 + tan ( x ) \frac{\tan^{21}{\left(x \right)}}{21} + \frac{10 \tan^{19}{\left(x \right)}}{19} + \frac{45 \tan^{17}{\left(x \right)}}{17} + 8 \tan^{15}{\left(x \right)} + \frac{210 \tan^{13}{\left(x \right)}}{13} + \frac{252 \tan^{11}{\left(x \right)}}{11} + \frac{70 \tan^{9}{\left(x \right)}}{3} + \frac{120 \tan^{7}{\left(x \right)}}{7} + 9 \tan^{5}{\left(x \right)} + \frac{10 \tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)} 21 t a n 21 ( x ) + 19 10 t a n 19 ( x ) + 17 45 t a n 17 ( x ) + 8 tan 15 ( x ) + 13 210 t a n 13 ( x ) + 11 252 t a n 11 ( x ) + 3 70 t a n 9 ( x ) + 7 120 t a n 7 ( x ) + 9 tan 5 ( x ) + 3 10 t a n 3 ( x ) + tan ( x )
La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫ ( − 1 sin 2 ( x ) ) d x = − ∫ 1 sin 2 ( x ) d x \int \left(- \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx ∫ ( − s i n 2 ( x ) 1 ) d x = − ∫ s i n 2 ( x ) 1 d x
No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
Pero la integral
− cos ( x ) sin ( x ) - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} − s i n ( x ) c o s ( x )
Por lo tanto, el resultado es: cos ( x ) sin ( x ) \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} s i n ( x ) c o s ( x )
El resultado es: tan 21 ( x ) 21 + 10 tan 19 ( x ) 19 + 45 tan 17 ( x ) 17 + 8 tan 15 ( x ) + 210 tan 13 ( x ) 13 + 252 tan 11 ( x ) 11 + 70 tan 9 ( x ) 3 + 120 tan 7 ( x ) 7 + 9 tan 5 ( x ) + 10 tan 3 ( x ) 3 + tan ( x ) + cos ( x ) sin ( x ) \frac{\tan^{21}{\left(x \right)}}{21} + \frac{10 \tan^{19}{\left(x \right)}}{19} + \frac{45 \tan^{17}{\left(x \right)}}{17} + 8 \tan^{15}{\left(x \right)} + \frac{210 \tan^{13}{\left(x \right)}}{13} + \frac{252 \tan^{11}{\left(x \right)}}{11} + \frac{70 \tan^{9}{\left(x \right)}}{3} + \frac{120 \tan^{7}{\left(x \right)}}{7} + 9 \tan^{5}{\left(x \right)} + \frac{10 \tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} 21 t a n 21 ( x ) + 19 10 t a n 19 ( x ) + 17 45 t a n 17 ( x ) + 8 tan 15 ( x ) + 13 210 t a n 13 ( x ) + 11 252 t a n 11 ( x ) + 3 70 t a n 9 ( x ) + 7 120 t a n 7 ( x ) + 9 tan 5 ( x ) + 3 10 t a n 3 ( x ) + tan ( x ) + s i n ( x ) c o s ( x )
Ahora simplificar:
46189 tan 22 ( x ) + 510510 tan 20 ( x ) + 2567565 tan 18 ( x ) + 7759752 tan 16 ( x ) + 15668730 tan 14 ( x ) + 22221108 tan 12 ( x ) + 22632610 tan 10 ( x ) + 16628040 tan 8 ( x ) + 8729721 tan 6 ( x ) + 3233230 tan 4 ( x ) + 969969 tan 2 ( x ) + 969969 969969 tan ( x ) \frac{46189 \tan^{22}{\left(x \right)} + 510510 \tan^{20}{\left(x \right)} + 2567565 \tan^{18}{\left(x \right)} + 7759752 \tan^{16}{\left(x \right)} + 15668730 \tan^{14}{\left(x \right)} + 22221108 \tan^{12}{\left(x \right)} + 22632610 \tan^{10}{\left(x \right)} + 16628040 \tan^{8}{\left(x \right)} + 8729721 \tan^{6}{\left(x \right)} + 3233230 \tan^{4}{\left(x \right)} + 969969 \tan^{2}{\left(x \right)} + 969969}{969969 \tan{\left(x \right)}} 969969 t a n ( x ) 46189 t a n 22 ( x ) + 510510 t a n 20 ( x ) + 2567565 t a n 18 ( x ) + 7759752 t a n 16 ( x ) + 15668730 t a n 14 ( x ) + 22221108 t a n 12 ( x ) + 22632610 t a n 10 ( x ) + 16628040 t a n 8 ( x ) + 8729721 t a n 6 ( x ) + 3233230 t a n 4 ( x ) + 969969 t a n 2 ( x ) + 969969
Añadimos la constante de integración:
46189 tan 22 ( x ) + 510510 tan 20 ( x ) + 2567565 tan 18 ( x ) + 7759752 tan 16 ( x ) + 15668730 tan 14 ( x ) + 22221108 tan 12 ( x ) + 22632610 tan 10 ( x ) + 16628040 tan 8 ( x ) + 8729721 tan 6 ( x ) + 3233230 tan 4 ( x ) + 969969 tan 2 ( x ) + 969969 969969 tan ( x ) + c o n s t a n t \frac{46189 \tan^{22}{\left(x \right)} + 510510 \tan^{20}{\left(x \right)} + 2567565 \tan^{18}{\left(x \right)} + 7759752 \tan^{16}{\left(x \right)} + 15668730 \tan^{14}{\left(x \right)} + 22221108 \tan^{12}{\left(x \right)} + 22632610 \tan^{10}{\left(x \right)} + 16628040 \tan^{8}{\left(x \right)} + 8729721 \tan^{6}{\left(x \right)} + 3233230 \tan^{4}{\left(x \right)} + 969969 \tan^{2}{\left(x \right)} + 969969}{969969 \tan{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant} 969969 t a n ( x ) 46189 t a n 22 ( x ) + 510510 t a n 20 ( x ) + 2567565 t a n 18 ( x ) + 7759752 t a n 16 ( x ) + 15668730 t a n 14 ( x ) + 22221108 t a n 12 ( x ) + 22632610 t a n 10 ( x ) + 16628040 t a n 8 ( x ) + 8729721 t a n 6 ( x ) + 3233230 t a n 4 ( x ) + 969969 t a n 2 ( x ) + 969969 + constant
Respuesta:
46189 tan 22 ( x ) + 510510 tan 20 ( x ) + 2567565 tan 18 ( x ) + 7759752 tan 16 ( x ) + 15668730 tan 14 ( x ) + 22221108 tan 12 ( x ) + 22632610 tan 10 ( x ) + 16628040 tan 8 ( x ) + 8729721 tan 6 ( x ) + 3233230 tan 4 ( x ) + 969969 tan 2 ( x ) + 969969 969969 tan ( x ) + c o n s t a n t \frac{46189 \tan^{22}{\left(x \right)} + 510510 \tan^{20}{\left(x \right)} + 2567565 \tan^{18}{\left(x \right)} + 7759752 \tan^{16}{\left(x \right)} + 15668730 \tan^{14}{\left(x \right)} + 22221108 \tan^{12}{\left(x \right)} + 22632610 \tan^{10}{\left(x \right)} + 16628040 \tan^{8}{\left(x \right)} + 8729721 \tan^{6}{\left(x \right)} + 3233230 \tan^{4}{\left(x \right)} + 969969 \tan^{2}{\left(x \right)} + 969969}{969969 \tan{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant} 969969 t a n ( x ) 46189 t a n 22 ( x ) + 510510 t a n 20 ( x ) + 2567565 t a n 18 ( x ) + 7759752 t a n 16 ( x ) + 15668730 t a n 14 ( x ) + 22221108 t a n 12 ( x ) + 22632610 t a n 10 ( x ) + 16628040 t a n 8 ( x ) + 8729721 t a n 6 ( x ) + 3233230 t a n 4 ( x ) + 969969 t a n 2 ( x ) + 969969 + constant
Respuesta (Indefinida)
[src]
/
| 21 3 19 17 9 7 13 11
| / 1 1 \ 15 5 tan (x) 10*tan (x) 10*tan (x) 45*tan (x) 70*tan (x) 120*tan (x) 210*tan (x) 252*tan (x) cos(x)
| |-------- - -------| dx = C + 8*tan (x) + 9*tan (x) + -------- + ---------- + ----------- + ----------- + ---------- + ----------- + ------------ + ------------ + ------ + tan(x)
| | 22 2 | 21 3 19 17 3 7 13 11 sin(x)
| \cos (x) sin (x)/
|
/
∫ ( 1 cos 22 ( x ) − 1 sin 2 ( x ) ) d x = C + tan 21 ( x ) 21 + 10 tan 19 ( x ) 19 + 45 tan 17 ( x ) 17 + 8 tan 15 ( x ) + 210 tan 13 ( x ) 13 + 252 tan 11 ( x ) 11 + 70 tan 9 ( x ) 3 + 120 tan 7 ( x ) 7 + 9 tan 5 ( x ) + 10 tan 3 ( x ) 3 + tan ( x ) + cos ( x ) sin ( x ) \int \left(\frac{1}{\cos^{22}{\left(x \right)}} - \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx = C + \frac{\tan^{21}{\left(x \right)}}{21} + \frac{10 \tan^{19}{\left(x \right)}}{19} + \frac{45 \tan^{17}{\left(x \right)}}{17} + 8 \tan^{15}{\left(x \right)} + \frac{210 \tan^{13}{\left(x \right)}}{13} + \frac{252 \tan^{11}{\left(x \right)}}{11} + \frac{70 \tan^{9}{\left(x \right)}}{3} + \frac{120 \tan^{7}{\left(x \right)}}{7} + 9 \tan^{5}{\left(x \right)} + \frac{10 \tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} ∫ ( cos 22 ( x ) 1 − sin 2 ( x ) 1 ) d x = C + 21 tan 21 ( x ) + 19 10 tan 19 ( x ) + 17 45 tan 17 ( x ) + 8 tan 15 ( x ) + 13 210 tan 13 ( x ) + 11 252 tan 11 ( x ) + 3 70 tan 9 ( x ) + 7 120 tan 7 ( x ) + 9 tan 5 ( x ) + 3 10 tan 3 ( x ) + tan ( x ) + sin ( x ) cos ( x )
Gráfica
0.00 1.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 -200000000 100000000
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.
