Integral de f(x)=1/cos^22x-1/sin^2 dx

1. Integramos término a término:

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sec^{22}{\left(x \right)} = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{10} \sec^{2}{\left(x \right)}$

   2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{10} \sec^{2}{\left(x \right)} = \tan^{20}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 10 \tan^{18}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 45 \tan^{16}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 120 \tan^{14}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 210 \tan^{12}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 252 \tan^{10}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 210 \tan^{8}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 120 \tan^{6}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 45 \tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 10 \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \sec^{2}{\left(x \right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{20}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{20}\, du = \frac{u^{21}}{21}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\tan^{21}{\left(x \right)}}{21}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 10 \tan^{18}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 10 \int \tan^{18}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{18}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{18}\, du = \frac{u^{19}}{19}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\tan^{19}{\left(x \right)}}{19}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{10 \tan^{19}{\left(x \right)}}{19}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 45 \tan^{16}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 45 \int \tan^{16}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{16}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{16}\, du = \frac{u^{17}}{17}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\tan^{17}{\left(x \right)}}{17}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{45 \tan^{17}{\left(x \right)}}{17}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 120 \tan^{14}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 120 \int \tan^{14}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{14}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\tan^{15}{\left(x \right)}}{15}$

            Por lo tanto, el resultado es: $8 \tan^{15}{\left(x \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 210 \tan^{12}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 210 \int \tan^{12}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{12}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\tan^{13}{\left(x \right)}}{13}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{210 \tan^{13}{\left(x \right)}}{13}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 252 \tan^{10}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 252 \int \tan^{10}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{10}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\tan^{11}{\left(x \right)}}{11}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{252 \tan^{11}{\left(x \right)}}{11}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 210 \tan^{8}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 210 \int \tan^{8}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{8}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\tan^{9}{\left(x \right)}}{9}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{70 \tan^{9}{\left(x \right)}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 120 \tan^{6}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 120 \int \tan^{6}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{6}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\tan^{7}{\left(x \right)}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{120 \tan^{7}{\left(x \right)}}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 45 \tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 45 \int \tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{4}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $9 \tan^{5}{\left(x \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 10 \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 10 \int \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{10 \tan^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         1. $\int \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = \tan{\left(x \right)}$

         El resultado es: $\frac{\tan^{21}{\left(x \right)}}{21} + \frac{10 \tan^{19}{\left(x \right)}}{19} + \frac{45 \tan^{17}{\left(x \right)}}{17} + 8 \tan^{15}{\left(x \right)} + \frac{210 \tan^{13}{\left(x \right)}}{13} + \frac{252 \tan^{11}{\left(x \right)}}{11} + \frac{70 \tan^{9}{\left(x \right)}}{3} + \frac{120 \tan^{7}{\left(x \right)}}{7} + 9 \tan^{5}{\left(x \right)} + \frac{10 \tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{10} \sec^{2}{\left(x \right)} = \tan^{20}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 10 \tan^{18}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 45 \tan^{16}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 120 \tan^{14}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 210 \tan^{12}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 252 \tan^{10}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 210 \tan^{8}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 120 \tan^{6}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 45 \tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + 10 \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \sec^{2}{\left(x \right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{20}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{20}\, du = \frac{u^{21}}{21}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\tan^{21}{\left(x \right)}}{21}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 10 \tan^{18}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 10 \int \tan^{18}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{18}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{18}\, du = \frac{u^{19}}{19}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\tan^{19}{\left(x \right)}}{19}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{10 \tan^{19}{\left(x \right)}}{19}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 45 \tan^{16}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 45 \int \tan^{16}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{16}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{16}\, du = \frac{u^{17}}{17}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\tan^{17}{\left(x \right)}}{17}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{45 \tan^{17}{\left(x \right)}}{17}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 120 \tan^{14}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 120 \int \tan^{14}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{14}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\tan^{15}{\left(x \right)}}{15}$

            Por lo tanto, el resultado es: $8 \tan^{15}{\left(x \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 210 \tan^{12}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 210 \int \tan^{12}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{12}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\tan^{13}{\left(x \right)}}{13}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{210 \tan^{13}{\left(x \right)}}{13}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 252 \tan^{10}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 252 \int \tan^{10}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{10}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\tan^{11}{\left(x \right)}}{11}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{252 \tan^{11}{\left(x \right)}}{11}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 210 \tan^{8}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 210 \int \tan^{8}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{8}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\tan^{9}{\left(x \right)}}{9}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{70 \tan^{9}{\left(x \right)}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 120 \tan^{6}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 120 \int \tan^{6}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{6}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\tan^{7}{\left(x \right)}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{120 \tan^{7}{\left(x \right)}}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 45 \tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 45 \int \tan^{4}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{4}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\tan^{5}{\left(x \right)}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $9 \tan^{5}{\left(x \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 10 \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = 10 \int \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{10 \tan^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         1. $\int \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = \tan{\left(x \right)}$

         El resultado es: $\frac{\tan^{21}{\left(x \right)}}{21} + \frac{10 \tan^{19}{\left(x \right)}}{19} + \frac{45 \tan^{17}{\left(x \right)}}{17} + 8 \tan^{15}{\left(x \right)} + \frac{210 \tan^{13}{\left(x \right)}}{13} + \frac{252 \tan^{11}{\left(x \right)}}{11} + \frac{70 \tan^{9}{\left(x \right)}}{3} + \frac{120 \tan^{7}{\left(x \right)}}{7} + 9 \tan^{5}{\left(x \right)} + \frac{10 \tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $- \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

   El resultado es: $\frac{\tan^{21}{\left(x \right)}}{21} + \frac{10 \tan^{19}{\left(x \right)}}{19} + \frac{45 \tan^{17}{\left(x \right)}}{17} + 8 \tan^{15}{\left(x \right)} + \frac{210 \tan^{13}{\left(x \right)}}{13} + \frac{252 \tan^{11}{\left(x \right)}}{11} + \frac{70 \tan^{9}{\left(x \right)}}{3} + \frac{120 \tan^{7}{\left(x \right)}}{7} + 9 \tan^{5}{\left(x \right)} + \frac{10 \tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{46189 \tan^{22}{\left(x \right)} + 510510 \tan^{20}{\left(x \right)} + 2567565 \tan^{18}{\left(x \right)} + 7759752 \tan^{16}{\left(x \right)} + 15668730 \tan^{14}{\left(x \right)} + 22221108 \tan^{12}{\left(x \right)} + 22632610 \tan^{10}{\left(x \right)} + 16628040 \tan^{8}{\left(x \right)} + 8729721 \tan^{6}{\left(x \right)} + 3233230 \tan^{4}{\left(x \right)} + 969969 \tan^{2}{\left(x \right)} + 969969}{969969 \tan{\left(x \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{46189 \tan^{22}{\left(x \right)} + 510510 \tan^{20}{\left(x \right)} + 2567565 \tan^{18}{\left(x \right)} + 7759752 \tan^{16}{\left(x \right)} + 15668730 \tan^{14}{\left(x \right)} + 22221108 \tan^{12}{\left(x \right)} + 22632610 \tan^{10}{\left(x \right)} + 16628040 \tan^{8}{\left(x \right)} + 8729721 \tan^{6}{\left(x \right)} + 3233230 \tan^{4}{\left(x \right)} + 969969 \tan^{2}{\left(x \right)} + 969969}{969969 \tan{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{46189 \tan^{22}{\left(x \right)} + 510510 \tan^{20}{\left(x \right)} + 2567565 \tan^{18}{\left(x \right)} + 7759752 \tan^{16}{\left(x \right)} + 15668730 \tan^{14}{\left(x \right)} + 22221108 \tan^{12}{\left(x \right)} + 22632610 \tan^{10}{\left(x \right)} + 16628040 \tan^{8}{\left(x \right)} + 8729721 \tan^{6}{\left(x \right)} + 3233230 \tan^{4}{\left(x \right)} + 969969 \tan^{2}{\left(x \right)} + 969969}{969969 \tan{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$