Integral de sec^2xln(tgx)dx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

      $\int \log{\left(u \right)}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = \log{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, du = u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} \tan{\left(x \right)} - \tan{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sec^{2}{\left(x \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan{\left(x \right)}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. $\int \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = \tan{\left(x \right)}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\tan^{2}{\left(x \right)} = \sec^{2}{\left(x \right)} - 1$

      2. Integramos término a término:

         1. $\int \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = \tan{\left(x \right)}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

         El resultado es: $- x + \tan{\left(x \right)}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      El resultado es: $\tan{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\left(\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} - 1\right) \tan{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\left(\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} - 1\right) \tan{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\left(\log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)} - 1\right) \tan{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$