Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 2^+} \sin{\left(\pi x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(x^{2} + 2 x - 8\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{2 x + \left(x^{2} - 8\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2} + 2 x - 8}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(\pi x \right)}}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 2 x - 8\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\pi \cos{\left(\pi x \right)}}{2 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\pi}{2 x + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\pi}{2 x + 2}\right)$$
=
$$\frac{\pi}{6}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)