Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x + 4} - 2\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(3 \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{3 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{3 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x + 4} - 2\right)}{\frac{d}{d x} 3 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3}}{2 \sqrt{x + 4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{12}$$
=
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{12}$$
=
$$\frac{1}{12}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)