Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \operatorname{asin}{\left(2 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{asin}{\left(2 x \right)}}{\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \left(\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2}{\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}}\right)$$
=
$$4$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)