Sr Examen

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1/sin(x)-1/tan(x)
Límite de la función/ sin(x)/ tan(x)/ 1/sin(x)-1/tan(x)

Límite de la función 1/sin(x)-1/tan(x)

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /  1        1   \
 lim |------ - ------|
x->0+\sin(x)   tan(x)/
lim⁡x→0+(−1tan⁡(x)+1sin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{1}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\right) 
Limit(1/sin(x) - 1/tan(x), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→0+(−sin⁡(x)+tan⁡(x))=0\lim_{x \to 0^+}\left(- \sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→0+(sin⁡(x)tan⁡(x))=0\lim_{x \to 0^+}\left(\sin{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}\right) = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→0+(−1tan⁡(x)+1sin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{1}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\right)
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
lim⁡x→0+(−sin⁡(x)+tan⁡(x)sin⁡(x)tan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx(−sin⁡(x)+tan⁡(x))ddxsin⁡(x)tan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(−cos⁡(x)+tan⁡2(x)+1(tan⁡2(x)+1)sin⁡(x)+cos⁡(x)tan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(−cos⁡(x)+tan⁡2(x)+1(tan⁡2(x)+1)sin⁡(x)+cos⁡(x)tan⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \cos{\left(x \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}\right)
=
00
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-500500
Trazar el gráfico
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /  1        1   \
 lim |------ - ------|
x->0+\sin(x)   tan(x)/
lim⁡x→0+(−1tan⁡(x)+1sin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{1}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\right) 
0
00 
= 4.95349509297983e-32
     /  1        1   \
 lim |------ - ------|
x->0-\sin(x)   tan(x)/
lim⁡x→0−(−1tan⁡(x)+1sin⁡(x))\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{1}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\right) 
0
00 
= -4.95349509297983e-32
= -4.95349509297983e-32
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→0−(−1tan⁡(x)+1sin⁡(x))=0\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{1}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\right) = 0
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(−1tan⁡(x)+1sin⁡(x))=0\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{1}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\right) = 0
lim⁡x→∞(−1tan⁡(x)+1sin⁡(x))\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\right)
Más detalles con x→oo
lim⁡x→1−(−1tan⁡(x)+1sin⁡(x))=−−tan⁡(1)+sin⁡(1)sin⁡(1)tan⁡(1)\lim_{x \to 1^-}\left(- \frac{1}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\right) = - \frac{- \tan{\left(1 \right)} + \sin{\left(1 \right)}}{\sin{\left(1 \right)} \tan{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(−1tan⁡(x)+1sin⁡(x))=−−tan⁡(1)+sin⁡(1)sin⁡(1)tan⁡(1)\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{1}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\right) = - \frac{- \tan{\left(1 \right)} + \sin{\left(1 \right)}}{\sin{\left(1 \right)} \tan{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(−1tan⁡(x)+1sin⁡(x))\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{1}{\tan{\left(x \right)}} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\right)
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida [src] 
0
00
Abrir y simplificar
Respuesta numérica [src] 
4.95349509297983e-32
4.95349509297983e-32
Gráfico
Límite de la función 1/sin(x)-1/tan(x)
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