Sr Examen

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Límite de la función/ -pi/2/ sqrt(n-pi/2)/n^2

Límite de la función sqrt(n-pi/2)/n^2

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /    ________\
     |   /     pi |
     |  /  n - -- |
     |\/       2  |
 lim |------------|
n->oo|      2     |
     \     n      /
lim⁡n→∞(n−π2n2)\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{n - \frac{\pi}{2}}}{n^{2}}\right) 
Limit(sqrt(n - pi/2)/n^2, n, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡n→∞2n−π=∞\lim_{n \to \infty} \sqrt{2 n - \pi} = \infty
y el límite para el denominador es
lim⁡n→∞(2n2)=∞\lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{2} n^{2}\right) = \infty
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡n→∞(n−π2n2)\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{n - \frac{\pi}{2}}}{n^{2}}\right)
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
lim⁡n→∞(22n−π2n2)\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{2 n - \pi}}{2 n^{2}}\right)
=
lim⁡n→∞(ddn2n−πddn2n2)\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \sqrt{2 n - \pi}}{\frac{d}{d n} \sqrt{2} n^{2}}\right)
=
lim⁡n→∞(24n2n−π)\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{2}}{4 n \sqrt{2 n - \pi}}\right)
=
lim⁡n→∞(ddn12n−πddn22n)\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{1}{\sqrt{2 n - \pi}}}{\frac{d}{d n} 2 \sqrt{2} n}\right)
=
lim⁡n→∞(−24(2n2n−π−π2n−π))\lim_{n \to \infty}\left(- \frac{\sqrt{2}}{4 \left(2 n \sqrt{2 n - \pi} - \pi \sqrt{2 n - \pi}\right)}\right)
=
lim⁡n→∞(−24(2n2n−π−π2n−π))\lim_{n \to \infty}\left(- \frac{\sqrt{2}}{4 \left(2 n \sqrt{2 n - \pi} - \pi \sqrt{2 n - \pi}\right)}\right)
=
00
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-10100.00.2
Trazar el gráfico
Respuesta rápida [src] 
0
00
Abrir y simplificar
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
lim⁡n→∞(n−π2n2)=0\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\sqrt{n - \frac{\pi}{2}}}{n^{2}}\right) = 0
lim⁡n→0−(n−π2n2)=∞i\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\sqrt{n - \frac{\pi}{2}}}{n^{2}}\right) = \infty i
Más detalles con n→0 a la izquierda
lim⁡n→0+(n−π2n2)=∞i\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{n - \frac{\pi}{2}}}{n^{2}}\right) = \infty i
Más detalles con n→0 a la derecha
lim⁡n→1−(n−π2n2)=22−π2\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\sqrt{n - \frac{\pi}{2}}}{n^{2}}\right) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \pi}}{2}
Más detalles con n→1 a la izquierda
lim⁡n→1+(n−π2n2)=22−π2\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\sqrt{n - \frac{\pi}{2}}}{n^{2}}\right) = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2 - \pi}}{2}
Más detalles con n→1 a la derecha
lim⁡n→−∞(n−π2n2)=0\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{n - \frac{\pi}{2}}}{n^{2}}\right) = 0
Más detalles con n→-oo
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