Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-9+x^2)/(3+x)
-
Límite de x^2/(1-cos(6*x))
-
Límite de (4+x^2-5*x)/(8+x^2-6*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- sin(pi*x)/((- uno +x)*(- dos +x))
- seno de ( número pi multiplicar por x) dividir por (( menos 1 más x) multiplicar por ( menos 2 más x))
- seno de ( número pi multiplicar por x) dividir por (( menos uno más x) multiplicar por ( menos dos más x))
- sin(pix)/((-1+x)(-2+x))
- sinpix/-1+x-2+x
- sin(pi*x) dividir por ((-1+x)*(-2+x))
-
Expresiones semejantes
- sin(pi*x)/((-1-x)*(-2+x))
- sin(pi*x)/((-1+x)*(-2-x))
- sin(pi*x)/((1+x)*(-2+x))
- sin(pi*x)/((-1+x)*(2+x))
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(5*x)/sin(2*x)
- sin(3*x)/(3*x)
- sin(x^2)/x
- sin(x)/|x|
- sin(x)/asin(x)
- Número Pi pi
- Piecewise((2+x,x<-2),(4-x^2,x<=3),(3-2*x,x>1))
- Piecewise((5+3*x,x<=-1),(cos(pi*x),x<0),(e^x,True))
- Piecewise((4,x<-2),(2+|x|,x<=2),(4-x,True))
- pi*sin(x)^2/2
- pi^2*x^2/sin(x)
Límite de la función sin(pi*x)/((-1+x)*(-2+x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ sin(pi*x) \ lim |-----------------| x->1+\(-1 + x)*(-2 + x)/
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}\right)$$
Limit(sin(pi*x)/(((-1 + x)*(-2 + x))), x, 1)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x - 2}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x - 2}}{\frac{d}{d x} \left(x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{\pi \cos{\left(\pi x \right)}}{x - 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{\pi \cos{\left(\pi x \right)}}{x - 2}\right)$$
=
$$\pi$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x - 2}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x - 2}}{\frac{d}{d x} \left(x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{\pi \cos{\left(\pi x \right)}}{x - 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2} - 4 x + 4} + \frac{\pi \cos{\left(\pi x \right)}}{x - 2}\right)$$
=
$$\pi$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ sin(pi*x) \ lim |-----------------| x->1+\(-1 + x)*(-2 + x)/
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}\right)$$
pi
$$\pi$$
= 3.14159265358979
/ sin(pi*x) \ lim |-----------------| x->1-\(-1 + x)*(-2 + x)/
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}\right)$$
pi
$$\pi$$
= 3.14159265358979
= 3.14159265358979
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}\right) = \pi$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}\right) = \pi$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}\right) = \pi$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo