Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de 1+1/x
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(12+x)-sqrt(4-x))/(-8+x^2+2*x)
-
Expresiones idénticas
- x*log(x/(- uno +x))
- x multiplicar por logaritmo de (x dividir por ( menos 1 más x))
- x multiplicar por logaritmo de (x dividir por ( menos uno más x))
- xlog(x/(-1+x))
- xlogx/-1+x
- x*log(x dividir por (-1+x))
-
Expresiones semejantes
- x*log(x/(-1-x))
- x*log(x/(1+x))
- (-1+x-x*log(x))/((-1+x)*log(x))
- cos(x)*log(x)/(-1+x)
- x*log(x)/(-1+x^2)
- sqrt(x)*log(x)/(-1+x)
- x*log(x)/(-1+x)
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(cos(5*x))/log(cos(4*x))
- log(2*x)*log(-1+2*x)
- log(1+x^2-x)
- log(-3+x^2)/(2+x^2-3*x)
- log(x)/(1+2*log(x)*sin(x))
Límite de la función x*log(x/(-1+x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ / x \\ lim |x*log|------|| x->oo\ \-1 + x//
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}\right)$$
Limit(x*log(x/(-1 + x)), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x}{x^{2} - 2 x + 1} + \frac{1}{x - 1}\right) \left(- \frac{1}{\log{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}^{2}} + \frac{1}{x \log{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x}{x^{2} - 2 x + 1} + \frac{1}{x - 1}\right) \left(- \frac{1}{\log{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}^{2}} + \frac{1}{x \log{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}^{2}}\right)}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x}{x^{2} - 2 x + 1} + \frac{1}{x - 1}\right) \left(- \frac{1}{\log{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}^{2}} + \frac{1}{x \log{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(- \frac{x}{x^{2} - 2 x + 1} + \frac{1}{x - 1}\right) \left(- \frac{1}{\log{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}^{2}} + \frac{1}{x \log{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}^{2}}\right)}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \log{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \log{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \log{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \log{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \log{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \log{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \log{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \log{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \log{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \log{\left(\frac{x}{x - 1} \right)}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo