Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (x^7-4*x+5*x^2)/(-7+3*x^2+11*x)
-
Límite de x*(1+x/5)-x*(1+x/4)
-
Límite de -(4+x)/(4*x)+(5+x)/(5*x)
-
Límite de (-1+x^3)*(8+x^4)/(2+3*x^2+4*x^3)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(uno +x^ dos -x)-sqrt(uno +x^ dos)
- raíz cuadrada de (1 más x al cuadrado menos x) menos raíz cuadrada de (1 más x al cuadrado )
- raíz cuadrada de (uno más x en el grado dos menos x) menos raíz cuadrada de (uno más x en el grado dos)
- √(1+x^2-x)-√(1+x^2)
- sqrt(1+x2-x)-sqrt(1+x2)
- sqrt1+x2-x-sqrt1+x2
- sqrt(1+x²-x)-sqrt(1+x²)
- sqrt(1+x en el grado 2-x)-sqrt(1+x en el grado 2)
- sqrt1+x^2-x-sqrt1+x^2
-
Expresiones semejantes
- sqrt(1-x^2-x)-sqrt(1+x^2)
- sqrt(1+x^2-x)+sqrt(1+x^2)
- sqrt(1+x^2+x)-sqrt(1+x^2)
- sqrt(1+x^2-x)-sqrt(1-x^2)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-2*x+9*x^2)-3*sqrt(x^2)
- sqrt(1+3*x)-sqrt(2+n)
- sqrt(-1+5*x)*sqrt(3+x)/(-3+3*x)
- sqrt(6+x)/sqrt(24+x)
- sqrt(-91+6*n)-sqrt(87+n)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-2*x+9*x^2)-3*sqrt(x^2)
- sqrt(1+3*x)-sqrt(2+n)
- sqrt(-1+5*x)*sqrt(3+x)/(-3+3*x)
- sqrt(6+x)/sqrt(24+x)
- sqrt(-91+6*n)-sqrt(87+n)
Límite de la función sqrt(1+x^2-x)-sqrt(1+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ____________ ________\
| / 2 / 2 |
lim \\/ 1 + x - x - \/ 1 + x /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 1}\right)$$
Limit(sqrt(1 + x^2 - x) - sqrt(1 + x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 1}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + 1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 1}\right) \left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + 1}\right)}{\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)^{2} - \left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)^{2}}{\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \left(x^{2} + 1\right)\right) + \left(- x^{2} - 1\right)}{\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x}{\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{\frac{\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{\sqrt{\frac{- x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(- \frac{1}{\sqrt{u^{2} + 1} + \sqrt{u^{2} - u + 1}}\right)$$ =
= $$- \frac{1}{\sqrt{0^{2} + 1} + \sqrt{0^{2} - 0 + 1}} = - \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 1}\right) = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 1}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + 1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 1}\right) \left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + 1}\right)}{\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)^{2} - \left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)^{2}}{\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \left(x^{2} + 1\right)\right) + \left(- x^{2} - 1\right)}{\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x}{\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + 1}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{\frac{\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{\sqrt{\frac{- x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(- \frac{1}{\sqrt{u^{2} + 1} + \sqrt{u^{2} - u + 1}}\right)$$ =
= $$- \frac{1}{\sqrt{0^{2} + 1} + \sqrt{0^{2} - 0 + 1}} = - \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 1}\right) = - \frac{1}{2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 1}\right) = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 1}\right) = 1 - \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 1}\right) = 1 - \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 1}\right) = 1 - \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 1}\right) = 1 - \sqrt{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 1}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo