Sr Examen
Otras calculadoras:
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¿Cómo usar?
- Límite de la función:
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Límite de (-5+x)/(-25+x^2)
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Límite de (x^2-2*x)/(4+x^2-4*x)
-
Límite de (1+x)^(1/x)
- Límite de f*x
-
Expresiones idénticas
- tres *sin(pi*x)/x
- 3 multiplicar por seno de ( número pi multiplicar por x) dividir por x
- tres multiplicar por seno de ( número pi multiplicar por x) dividir por x
- 3sin(pix)/x
- 3sinpix/x
- 3*sin(pi*x) dividir por x
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(2*x)/x
- sin(3*x)/sin(2*x)
- sin(3*x)/(4*x)
- sin(x)^2/x
- sin(x)/(2*x)
- Número Pi pi
- pi/(x*cot(5*x/2))
- Piecewise((1+5*x,x>=1),(-2+x^2,True))
- Piecewise((4+x,x<-1),(2+x^2,x<=1),(2*x,x>=1))
- pi/(x*cot(pi*x/2))
- pi/4
Límite de la función 3*sin(pi*x)/x
Solución
Ha introducido
[src]
/3*sin(pi*x)\ lim |-----------| x->0+\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sin{\left(\pi x \right)}}{x}\right)$$
Limit((3*sin(pi*x))/x, x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sin{\left(\pi x \right)}}{x}\right)$$
Sustituimos
$$u = \pi x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sin{\left(\pi x \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 \pi \sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
=
$$3 \pi \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sin{\left(\pi x \right)}}{x}\right) = 3 \pi$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sin{\left(\pi x \right)}}{x}\right)$$
Sustituimos
$$u = \pi x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sin{\left(\pi x \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 \pi \sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
=
$$3 \pi \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sin{\left(\pi x \right)}}{x}\right) = 3 \pi$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(\pi x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{3}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sin{\left(\pi x \right)}}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sin{\left(\pi x \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(\pi x \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{x}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(3 \pi \cos{\left(\pi x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(3 \pi\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(3 \pi\right)$$
=
$$3 \pi$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(\pi x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{3}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sin{\left(\pi x \right)}}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sin{\left(\pi x \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(\pi x \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{x}{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(3 \pi \cos{\left(\pi x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(3 \pi\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(3 \pi\right)$$
=
$$3 \pi$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{3 \sin{\left(\pi x \right)}}{x}\right) = 3 \pi$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sin{\left(\pi x \right)}}{x}\right) = 3 \pi$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \sin{\left(\pi x \right)}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{3 \sin{\left(\pi x \right)}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{3 \sin{\left(\pi x \right)}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \sin{\left(\pi x \right)}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sin{\left(\pi x \right)}}{x}\right) = 3 \pi$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \sin{\left(\pi x \right)}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{3 \sin{\left(\pi x \right)}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{3 \sin{\left(\pi x \right)}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \sin{\left(\pi x \right)}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/3*sin(pi*x)\ lim |-----------| x->0+\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{3 \sin{\left(\pi x \right)}}{x}\right)$$
3*pi
$$3 \pi$$
= 9.42477796076938
/3*sin(pi*x)\ lim |-----------| x->0-\ x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{3 \sin{\left(\pi x \right)}}{x}\right)$$
3*pi
$$3 \pi$$
= 9.42477796076938
= 9.42477796076938