Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 5^+} \sin{\left(\pi x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 5^+}\left(x - 5\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x - 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(\pi x \right)}}{\frac{d}{d x} \left(x - 5\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\pi \cos{\left(\pi x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 5^+}\left(- \pi\right)$$
=
$$\lim_{x \to 5^+}\left(- \pi\right)$$
=
$$- \pi$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)