Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-9+x^2)/(3+x)
-
Límite de x^2/(1-cos(6*x))
-
Límite de (4+x^2-5*x)/(8+x^2-6*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- sin(pi*x)/(- uno +x^ dos)
- seno de ( número pi multiplicar por x) dividir por ( menos 1 más x al cuadrado )
- seno de ( número pi multiplicar por x) dividir por ( menos uno más x en el grado dos)
- sin(pi*x)/(-1+x2)
- sinpi*x/-1+x2
- sin(pi*x)/(-1+x²)
- sin(pi*x)/(-1+x en el grado 2)
- sin(pix)/(-1+x^2)
- sin(pix)/(-1+x2)
- sinpix/-1+x2
- sinpix/-1+x^2
- sin(pi*x) dividir por (-1+x^2)
-
Expresiones semejantes
- sin(pi*x)/(1+x^2)
- sin(pi*x)/(-1-x^2)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(5*x)/sin(2*x)
- sin(3*x)/(3*x)
- sin(x^2)/x
- sin(x)/|x|
- sin(x)/asin(x)
- Número Pi pi
- Piecewise((2+x,x<-2),(4-x^2,x<=3),(3-2*x,x>1))
- Piecewise((5+3*x,x<=-1),(cos(pi*x),x<0),(e^x,True))
- Piecewise((4,x<-2),(2+|x|,x<=2),(4-x,True))
- pi*sin(x)^2/2
- pi^2*x^2/sin(x)
Límite de la función sin(pi*x)/(-1+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/sin(pi*x)\
lim |---------|
x->1+| 2 |
\ -1 + x /
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2} - 1}\right)$$
Limit(sin(pi*x)/(-1 + x^2), x, 1)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+} \sin{\left(\pi x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{2} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(\pi x \right)}}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\pi \cos{\left(\pi x \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\pi}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\pi}{2}\right)$$
=
$$- \frac{\pi}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+} \sin{\left(\pi x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{2} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(\pi x \right)}}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\pi \cos{\left(\pi x \right)}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\pi}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\pi}{2}\right)$$
=
$$- \frac{\pi}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/sin(pi*x)\
lim |---------|
x->1+| 2 |
\ -1 + x /
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2} - 1}\right)$$
-pi ---- 2
$$- \frac{\pi}{2}$$
= -1.5707963267949
/sin(pi*x)\
lim |---------|
x->1-| 2 |
\ -1 + x /
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2} - 1}\right)$$
-pi ---- 2
$$- \frac{\pi}{2}$$
= -1.5707963267949
= -1.5707963267949
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2} - 1}\right) = - \frac{\pi}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2} - 1}\right) = - \frac{\pi}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2} - 1}\right) = - \frac{\pi}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo