Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Límite de -sin(sqrt(x))+sin(sqrt(1+x))
-
Expresiones idénticas
- log(factorial(n))/n^(tres / dos)
- logaritmo de (factorial(n)) dividir por n en el grado (3 dividir por 2)
- logaritmo de (factorial(n)) dividir por n en el grado (tres dividir por dos)
- log(factorial(n))/n(3/2)
- logfactorialn/n3/2
- logfactorialn/n^3/2
- log(factorial(n)) dividir por n^(3 dividir por 2)
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(9-2*x^2)/sin(2*pi*x)
- log(2+cos(x))/(-1+3^sin(x))^2
- log(1+m*x)/x
- log(1-cos(x))/log(tan(x))
- log(1+3^x)/log(1+2^x)
- factorial
- factorial(x)^(1/x)/x
- factorial(n)/(2+n^2)
- factorial(-1+x)*exp(x)/factorial(x)
- factorial(x)/(-factorial(n)+factorial(1+x))
- factorial(1+x)^2*factorial(2*x)/(factorial(x)^2*factorial(2+2*x))
Límite de la función log(factorial(n))/n^(3/2)
Solución
Ha introducido
[src]
/log(n!)\
lim |-------|
n->oo| 3/2 |
\ n /
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\log{\left(n! \right)}}{n^{\frac{3}{2}}}\right)$$
Limit(log(factorial(n))/n^(3/2), n, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} \log{\left(n! \right)} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} n^{\frac{3}{2}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\log{\left(n! \right)}}{n^{\frac{3}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \log{\left(n! \right)}}{\frac{d}{d n} n^{\frac{3}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 \Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{3 \sqrt{n} n!}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{\frac{d}{d n} \frac{3 \sqrt{n} n!}{2 \Gamma\left(n + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\operatorname{polygamma}{\left(1,n + 1 \right)}}{- \frac{3 \sqrt{n} n! \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{2 \Gamma\left(n + 1\right)} + \frac{3 \sqrt{n} \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{2} + \frac{3 n!}{4 \sqrt{n} \Gamma\left(n + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{1}{- \frac{3 \sqrt{n} n! \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{2 \Gamma\left(n + 1\right)} + \frac{3 \sqrt{n} \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{2} + \frac{3 n!}{4 \sqrt{n} \Gamma\left(n + 1\right)}}}{\frac{d}{d n} \frac{1}{\operatorname{polygamma}{\left(1,n + 1 \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \frac{\left(- \frac{3 \sqrt{n} n! \operatorname{polygamma}^{2}{\left(0,n + 1 \right)}}{2 \Gamma\left(n + 1\right)} + \frac{3 \sqrt{n} n! \operatorname{polygamma}{\left(1,n + 1 \right)}}{2 \Gamma\left(n + 1\right)} + \frac{3 \sqrt{n} \operatorname{polygamma}^{2}{\left(0,n + 1 \right)}}{2} - \frac{3 \sqrt{n} \operatorname{polygamma}{\left(1,n + 1 \right)}}{2} + \frac{3 n! \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{2 \sqrt{n} \Gamma\left(n + 1\right)} - \frac{3 \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{2 \sqrt{n}} + \frac{3 n!}{8 n^{\frac{3}{2}} \Gamma\left(n + 1\right)}\right) \operatorname{polygamma}^{2}{\left(1,n + 1 \right)}}{\left(- \frac{3 \sqrt{n} n! \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{2 \Gamma\left(n + 1\right)} + \frac{3 \sqrt{n} \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{2} + \frac{3 n!}{4 \sqrt{n} \Gamma\left(n + 1\right)}\right)^{2} \operatorname{polygamma}{\left(2,n + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \frac{\left(- \frac{3 \sqrt{n} n! \operatorname{polygamma}^{2}{\left(0,n + 1 \right)}}{2 \Gamma\left(n + 1\right)} + \frac{3 \sqrt{n} n! \operatorname{polygamma}{\left(1,n + 1 \right)}}{2 \Gamma\left(n + 1\right)} + \frac{3 \sqrt{n} \operatorname{polygamma}^{2}{\left(0,n + 1 \right)}}{2} - \frac{3 \sqrt{n} \operatorname{polygamma}{\left(1,n + 1 \right)}}{2} + \frac{3 n! \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{2 \sqrt{n} \Gamma\left(n + 1\right)} - \frac{3 \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{2 \sqrt{n}} + \frac{3 n!}{8 n^{\frac{3}{2}} \Gamma\left(n + 1\right)}\right) \operatorname{polygamma}^{2}{\left(1,n + 1 \right)}}{\left(- \frac{3 \sqrt{n} n! \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{2 \Gamma\left(n + 1\right)} + \frac{3 \sqrt{n} \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{2} + \frac{3 n!}{4 \sqrt{n} \Gamma\left(n + 1\right)}\right)^{2} \operatorname{polygamma}{\left(2,n + 1 \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} \log{\left(n! \right)} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} n^{\frac{3}{2}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\log{\left(n! \right)}}{n^{\frac{3}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \log{\left(n! \right)}}{\frac{d}{d n} n^{\frac{3}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2 \Gamma\left(n + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{3 \sqrt{n} n!}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{\frac{d}{d n} \frac{3 \sqrt{n} n!}{2 \Gamma\left(n + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\operatorname{polygamma}{\left(1,n + 1 \right)}}{- \frac{3 \sqrt{n} n! \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{2 \Gamma\left(n + 1\right)} + \frac{3 \sqrt{n} \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{2} + \frac{3 n!}{4 \sqrt{n} \Gamma\left(n + 1\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{1}{- \frac{3 \sqrt{n} n! \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{2 \Gamma\left(n + 1\right)} + \frac{3 \sqrt{n} \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{2} + \frac{3 n!}{4 \sqrt{n} \Gamma\left(n + 1\right)}}}{\frac{d}{d n} \frac{1}{\operatorname{polygamma}{\left(1,n + 1 \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \frac{\left(- \frac{3 \sqrt{n} n! \operatorname{polygamma}^{2}{\left(0,n + 1 \right)}}{2 \Gamma\left(n + 1\right)} + \frac{3 \sqrt{n} n! \operatorname{polygamma}{\left(1,n + 1 \right)}}{2 \Gamma\left(n + 1\right)} + \frac{3 \sqrt{n} \operatorname{polygamma}^{2}{\left(0,n + 1 \right)}}{2} - \frac{3 \sqrt{n} \operatorname{polygamma}{\left(1,n + 1 \right)}}{2} + \frac{3 n! \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{2 \sqrt{n} \Gamma\left(n + 1\right)} - \frac{3 \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{2 \sqrt{n}} + \frac{3 n!}{8 n^{\frac{3}{2}} \Gamma\left(n + 1\right)}\right) \operatorname{polygamma}^{2}{\left(1,n + 1 \right)}}{\left(- \frac{3 \sqrt{n} n! \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{2 \Gamma\left(n + 1\right)} + \frac{3 \sqrt{n} \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{2} + \frac{3 n!}{4 \sqrt{n} \Gamma\left(n + 1\right)}\right)^{2} \operatorname{polygamma}{\left(2,n + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(- \frac{\left(- \frac{3 \sqrt{n} n! \operatorname{polygamma}^{2}{\left(0,n + 1 \right)}}{2 \Gamma\left(n + 1\right)} + \frac{3 \sqrt{n} n! \operatorname{polygamma}{\left(1,n + 1 \right)}}{2 \Gamma\left(n + 1\right)} + \frac{3 \sqrt{n} \operatorname{polygamma}^{2}{\left(0,n + 1 \right)}}{2} - \frac{3 \sqrt{n} \operatorname{polygamma}{\left(1,n + 1 \right)}}{2} + \frac{3 n! \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{2 \sqrt{n} \Gamma\left(n + 1\right)} - \frac{3 \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{2 \sqrt{n}} + \frac{3 n!}{8 n^{\frac{3}{2}} \Gamma\left(n + 1\right)}\right) \operatorname{polygamma}^{2}{\left(1,n + 1 \right)}}{\left(- \frac{3 \sqrt{n} n! \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{2 \Gamma\left(n + 1\right)} + \frac{3 \sqrt{n} \operatorname{polygamma}{\left(0,n + 1 \right)}}{2} + \frac{3 n!}{4 \sqrt{n} \Gamma\left(n + 1\right)}\right)^{2} \operatorname{polygamma}{\left(2,n + 1 \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\log{\left(n! \right)}}{n^{\frac{3}{2}}}\right) = 0$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(n! \right)}}{n^{\frac{3}{2}}}\right) = \infty i$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(n! \right)}}{n^{\frac{3}{2}}}\right) = -\infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(n! \right)}}{n^{\frac{3}{2}}}\right) = 0$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(n! \right)}}{n^{\frac{3}{2}}}\right) = 0$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(n! \right)}}{n^{\frac{3}{2}}}\right) = 0$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(n! \right)}}{n^{\frac{3}{2}}}\right) = \infty i$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(n! \right)}}{n^{\frac{3}{2}}}\right) = -\infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(n! \right)}}{n^{\frac{3}{2}}}\right) = 0$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(n! \right)}}{n^{\frac{3}{2}}}\right) = 0$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(n! \right)}}{n^{\frac{3}{2}}}\right) = 0$$
Más detalles con n→-oo