Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (9+x^2-6*x)/(x^2-3*x)
-
Límite de (-2+sqrt(-2+x))/(-6+x)
-
Límite de (sqrt(12+x)-sqrt(4-x))/(-8+x^2+2*x)
-
Límite de (sqrt(6+x^2-2*x)-sqrt(-6+x^2+2*x))/(3+x^2-4*x)
-
Expresiones idénticas
- log(uno + tres /x)/sin(dos /x)
- logaritmo de (1 más 3 dividir por x) dividir por seno de (2 dividir por x)
- logaritmo de (uno más tres dividir por x) dividir por seno de (dos dividir por x)
- log1+3/x/sin2/x
- log(1+3 dividir por x) dividir por sin(2 dividir por x)
-
Expresiones semejantes
- log(1-3/x)/sin(2/x)
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(cos(5*x))/log(cos(4*x))
- log(2*x)*log(-1+2*x)
- log(1+x^2-x)
- log(-3+x^2)/(2+x^2-3*x)
- log(x)/(1+2*log(x)*sin(x))
- Seno sin
- sin(x)^2/(1+cos(x))
- sin(3*x)/(9*x)
- sin(3*x)/x^2
- sin(3*x)/sin(x)
- sin(x)/(x+tan(x))
Límite de la función log(1+3/x)/sin(2/x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ / 3\\
|log|1 + -||
| \ x/|
lim |----------|
x->oo| /2\ |
| sin|-| |
\ \x/ /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
Limit(log(1 + 3/x)/sin(2/x), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x + 3}{x} \right)}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \left(1 + \frac{3}{x}\right) \log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}^{2} \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}{3 \sin^{2}{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}^{2}}{3 \sin^{2}{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}^{2}}{3 \sin^{2}{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\frac{3}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x + 3}{x} \right)}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \left(1 + \frac{3}{x}\right) \log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}^{2} \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}{3 \sin^{2}{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}^{2}}{3 \sin^{2}{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}^{2}}{3 \sin^{2}{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\frac{3}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right) = \frac{3}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right) = \frac{2 \log{\left(2 \right)}}{\sin{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right) = \frac{2 \log{\left(2 \right)}}{\sin{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right) = \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right) = \frac{2 \log{\left(2 \right)}}{\sin{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right) = \frac{2 \log{\left(2 \right)}}{\sin{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(1 + \frac{3}{x} \right)}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right) = \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico