Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-9+x^2)/(3+x)
-
Límite de x^2/(1-cos(6*x))
-
Límite de (4+x^2-5*x)/(8+x^2-6*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- sin(pi*x)/sin(pi*x/ dos)
- seno de ( número pi multiplicar por x) dividir por seno de ( número pi multiplicar por x dividir por 2)
- seno de ( número pi multiplicar por x) dividir por seno de ( número pi multiplicar por x dividir por dos)
- sin(pix)/sin(pix/2)
- sinpix/sinpix/2
- sin(pi*x) dividir por sin(pi*x dividir por 2)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(5*x)/sin(2*x)
- sin(3*x)/(3*x)
- sin(x^2)/x
- sin(x)/|x|
- sin(x)/asin(x)
- Número Pi pi
- Piecewise((2+x,x<-2),(4-x^2,x<=3),(3-2*x,x>1))
- Piecewise((5+3*x,x<=-1),(cos(pi*x),x<0),(e^x,True))
- Piecewise((4,x<-2),(2+|x|,x<=2),(4-x,True))
- pi*sin(x)^2/2
- pi^2*x^2/sin(x)
- Seno sin
- sin(5*x)/sin(2*x)
- sin(3*x)/(3*x)
- sin(x^2)/x
- sin(x)/|x|
- sin(x)/asin(x)
- Número Pi pi
- Piecewise((2+x,x<-2),(4-x^2,x<=3),(3-2*x,x>1))
- Piecewise((5+3*x,x<=-1),(cos(pi*x),x<0),(e^x,True))
- Piecewise((4,x<-2),(2+|x|,x<=2),(4-x,True))
- pi*sin(x)^2/2
- pi^2*x^2/sin(x)
Límite de la función sin(pi*x)/sin(pi*x/2)
Solución
Ha introducido
[src]
/sin(pi*x)\
lim |---------|
x->2+| /pi*x\|
|sin|----||
\ \ 2 //
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
Limit(sin(pi*x)/sin((pi*x)/2), x, 2)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 2^+} \sin{\left(\pi x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 2^+} \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(\pi x \right)}}{\frac{d}{d x} \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+} -2$$
=
$$\lim_{x \to 2^+} -2$$
=
$$-2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 2^+} \sin{\left(\pi x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 2^+} \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(\pi x \right)}}{\frac{d}{d x} \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+} -2$$
=
$$\lim_{x \to 2^+} -2$$
=
$$-2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right) = -2$$
Más detalles con x→2 a la izquierda
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right) = -2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→2 a la izquierda
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right) = -2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/sin(pi*x)\
lim |---------|
x->2+| /pi*x\|
|sin|----||
\ \ 2 //
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
-2
$$-2$$
= -2
/sin(pi*x)\
lim |---------|
x->2-| /pi*x\|
|sin|----||
\ \ 2 //
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{\sin{\left(\pi x \right)}}{\sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}\right)$$
-2
$$-2$$
= -2
= -2