Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 1/(1-x)-3/(1-x^3)
-
Límite de sin(3*x)/(2*x)
-
Límite de (1-2*x)^(1/x)
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- (- uno -x+exp(tanh(x)))/x^ dos
- ( menos 1 menos x más exponente de ( tangente de gente hiperbólica de (x))) dividir por x al cuadrado
- ( menos uno menos x más exponente de ( tangente de gente hiperbólica de (x))) dividir por x en el grado dos
- (-1-x+exp(tanh(x)))/x2
- -1-x+exptanhx/x2
- (-1-x+exp(tanh(x)))/x²
- (-1-x+exp(tanh(x)))/x en el grado 2
- -1-x+exptanhx/x^2
- (-1-x+exp(tanh(x))) dividir por x^2
-
Expresiones semejantes
- (1-x+exp(tanh(x)))/x^2
- (-1-x-exp(tanh(x)))/x^2
- (-1+x+exp(tanh(x)))/x^2
-
Expresiones con funciones
- Exponente exp
- exp(x+1/x)
- exp(-x^2+6*x)
- exp(cos(x)*log(sin(x)))/x
- exp(x)/x^100
- exp(-1/x^2)/x^15
- Tangente hiperbólica tanh
- tanh(log(5*x^3))
- tanh(x)^sinh(2*x)
- tanh(-1+sqrt(x))/(-1+x^2)
- tanh(1+a*x)
- tanh(p*x)/(2+x)
Límite de la función (-1-x+exp(tanh(x)))/x^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ tanh(x)\
|-1 - x + e |
lim |-----------------|
x->0+| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(- x - 1\right) + e^{\tanh{\left(x \right)}}}{x^{2}}\right)$$
Limit((-1 - x + exp(tanh(x)))/x^2, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x + e^{\tanh{\left(x \right)}} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{2} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(- x - 1\right) + e^{\tanh{\left(x \right)}}}{x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x + e^{\tanh{\left(x \right)}} - 1}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x + e^{\tanh{\left(x \right)}} - 1\right)}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- e^{\tanh{\left(x \right)}} \tanh^{2}{\left(x \right)} + e^{\tanh{\left(x \right)}} - 1}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- e^{\tanh{\left(x \right)}} \tanh^{2}{\left(x \right)} + e^{\tanh{\left(x \right)}} - 1\right)}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{\tanh{\left(x \right)}} \tanh^{4}{\left(x \right)}}{2} + e^{\tanh{\left(x \right)}} \tanh^{3}{\left(x \right)} - e^{\tanh{\left(x \right)}} \tanh^{2}{\left(x \right)} - e^{\tanh{\left(x \right)}} \tanh{\left(x \right)} + \frac{e^{\tanh{\left(x \right)}}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{\tanh{\left(x \right)}} \tanh^{4}{\left(x \right)}}{2} + e^{\tanh{\left(x \right)}} \tanh^{3}{\left(x \right)} - e^{\tanh{\left(x \right)}} \tanh^{2}{\left(x \right)} - e^{\tanh{\left(x \right)}} \tanh{\left(x \right)} + \frac{e^{\tanh{\left(x \right)}}}{2}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- x + e^{\tanh{\left(x \right)}} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{2} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(- x - 1\right) + e^{\tanh{\left(x \right)}}}{x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- x + e^{\tanh{\left(x \right)}} - 1}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x + e^{\tanh{\left(x \right)}} - 1\right)}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- e^{\tanh{\left(x \right)}} \tanh^{2}{\left(x \right)} + e^{\tanh{\left(x \right)}} - 1}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- e^{\tanh{\left(x \right)}} \tanh^{2}{\left(x \right)} + e^{\tanh{\left(x \right)}} - 1\right)}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{\tanh{\left(x \right)}} \tanh^{4}{\left(x \right)}}{2} + e^{\tanh{\left(x \right)}} \tanh^{3}{\left(x \right)} - e^{\tanh{\left(x \right)}} \tanh^{2}{\left(x \right)} - e^{\tanh{\left(x \right)}} \tanh{\left(x \right)} + \frac{e^{\tanh{\left(x \right)}}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{\tanh{\left(x \right)}} \tanh^{4}{\left(x \right)}}{2} + e^{\tanh{\left(x \right)}} \tanh^{3}{\left(x \right)} - e^{\tanh{\left(x \right)}} \tanh^{2}{\left(x \right)} - e^{\tanh{\left(x \right)}} \tanh{\left(x \right)} + \frac{e^{\tanh{\left(x \right)}}}{2}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ tanh(x)\
|-1 - x + e |
lim |-----------------|
x->0+| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(- x - 1\right) + e^{\tanh{\left(x \right)}}}{x^{2}}\right)$$
1/2
$$\frac{1}{2}$$
= 0.5
/ tanh(x)\
|-1 - x + e |
lim |-----------------|
x->0-| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(- x - 1\right) + e^{\tanh{\left(x \right)}}}{x^{2}}\right)$$
1/2
$$\frac{1}{2}$$
= 0.5
= 0.5
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(- x - 1\right) + e^{\tanh{\left(x \right)}}}{x^{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(- x - 1\right) + e^{\tanh{\left(x \right)}}}{x^{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x - 1\right) + e^{\tanh{\left(x \right)}}}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(- x - 1\right) + e^{\tanh{\left(x \right)}}}{x^{2}}\right) = -2 + \frac{e^{\frac{e^{2}}{1 + e^{2}}}}{e^{\frac{1}{1 + e^{2}}}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(- x - 1\right) + e^{\tanh{\left(x \right)}}}{x^{2}}\right) = -2 + \frac{e^{\frac{e^{2}}{1 + e^{2}}}}{e^{\frac{1}{1 + e^{2}}}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x - 1\right) + e^{\tanh{\left(x \right)}}}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(- x - 1\right) + e^{\tanh{\left(x \right)}}}{x^{2}}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x - 1\right) + e^{\tanh{\left(x \right)}}}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(- x - 1\right) + e^{\tanh{\left(x \right)}}}{x^{2}}\right) = -2 + \frac{e^{\frac{e^{2}}{1 + e^{2}}}}{e^{\frac{1}{1 + e^{2}}}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(- x - 1\right) + e^{\tanh{\left(x \right)}}}{x^{2}}\right) = -2 + \frac{e^{\frac{e^{2}}{1 + e^{2}}}}{e^{\frac{1}{1 + e^{2}}}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x - 1\right) + e^{\tanh{\left(x \right)}}}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo