Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-1+sqrt(1+x))/(-1+(1+x)^(1/3))
-
Límite de (-cos(x)+cos(3*x))/(-1+cos(x))
-
Límite de (-2-5*x^2+11*x)/(-10-x+3*x^2)
-
Límite de ((1+5*x)/(-2+5*x))^(-8+3*x)
-
Expresiones idénticas
- (- dos +sqrt(x))*log(x)/x
- ( menos 2 más raíz cuadrada de (x)) multiplicar por logaritmo de (x) dividir por x
- ( menos dos más raíz cuadrada de (x)) multiplicar por logaritmo de (x) dividir por x
- (-2+√(x))*log(x)/x
- (-2+sqrt(x))log(x)/x
- -2+sqrtxlogx/x
- (-2+sqrt(x))*log(x) dividir por x
-
Expresiones semejantes
- (2+sqrt(x))*log(x)/x
- (-2-sqrt(x))*log(x)/x
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(13+x)-2*sqrt(1+x)/(-9+x^2)
- sqrt(((1+2*x)/(1+3*x))^(x/3))
- sqrt(e^x+2*x)
- sqrt(x)*log(x)^11/3
- sqrt(x^5/(13+x))
- Logaritmo log
- log(-2+x^2-x)
- log(5*x)/log(sin(x))+log(cos(x))
- log((3+x)/(1+2*x))
- log(-x+2*x^3)/log(x^3+x^4-x)
- log(1+a*n)/x
Límite de la función (-2+sqrt(x))*log(x)/x
Solución
Ha introducido
[src]
// ___\ \
|\-2 + \/ x /*log(x)|
lim |-------------------|
x->oo\ x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - 2\right) \log{\left(x \right)}}{x}\right)$$
Limit(((-2 + sqrt(x))*log(x))/x, x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} - 2\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\log{\left(x \right)}}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - 2\right) \log{\left(x \right)}}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - 2\right) \log{\left(x \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x} - 2\right)}{\frac{d}{d x} \frac{x}{\log{\left(x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x} \left(\frac{1}{\log{\left(x \right)}} - \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{\frac{1}{\log{\left(x \right)}} - \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2}}}}{\frac{d}{d x} 2 \sqrt{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} \left(\frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} - \frac{2}{x \log{\left(x \right)}^{3}}\right)}{\left(\frac{1}{\log{\left(x \right)}} - \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2}}\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} \left(\frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} - \frac{2}{x \log{\left(x \right)}^{3}}\right)}{\left(\frac{1}{\log{\left(x \right)}} - \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2}}\right)^{2}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} - 2\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\log{\left(x \right)}}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - 2\right) \log{\left(x \right)}}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - 2\right) \log{\left(x \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x} - 2\right)}{\frac{d}{d x} \frac{x}{\log{\left(x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x} \left(\frac{1}{\log{\left(x \right)}} - \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{1}{\frac{1}{\log{\left(x \right)}} - \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2}}}}{\frac{d}{d x} 2 \sqrt{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} \left(\frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} - \frac{2}{x \log{\left(x \right)}^{3}}\right)}{\left(\frac{1}{\log{\left(x \right)}} - \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2}}\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x} \left(\frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} - \frac{2}{x \log{\left(x \right)}^{3}}\right)}{\left(\frac{1}{\log{\left(x \right)}} - \frac{1}{\log{\left(x \right)}^{2}}\right)^{2}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - 2\right) \log{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - 2\right) \log{\left(x \right)}}{x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - 2\right) \log{\left(x \right)}}{x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - 2\right) \log{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - 2\right) \log{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - 2\right) \log{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - 2\right) \log{\left(x \right)}}{x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - 2\right) \log{\left(x \right)}}{x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - 2\right) \log{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - 2\right) \log{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x} - 2\right) \log{\left(x \right)}}{x}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo